Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2009年度一覧へ
大学別一覧へ
福井大一覧へ
2009-10381-0101
2009 福井大学 前期
教育地域科,工学部
易□ 並□ 難□
【1】 数列 { an } において,初項から第 n 項までの和を S n とすると,関係式
Sn= 2⁢an -n⋅ 2n+1 ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
が成り立つ.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) a1 , a2 を求めよ.
(2) an+ 1 を a n と n の式で表せ.
(3) bn= a n2n と定めるとき, bn を n の式で表せ.さらに, an を n の式で表せ.
2009-10381-0102
教育地域科学部
工学部【3】の類題
【2】 ▵OAB において, OA=2 , OB=1 , ∠AOB=θ ( 0<θ< π ) とする.頂点 O から直線 AB に下ろした垂線と直線 AB との交点を H とし, OH→ =t⁢ OA→+ (1- t)⁢ OB→ とするとき,以下の問いに答えよ.
(1) t を θ を用いて表せ.
(2) t= 14 のとき, ▵OAB の面積を求めよ.
(3) AB=OA のとき, t を求めよ.
2009-10381-0103
【3】 A と B は最初 6 点ずつ持っている. A と B は,以下のルールによる点のやり取りのゲームを 3 回行う.
(ゲームのルール) A と B は同時にひとつずつサイコロを投げて, 2 人の出した目の和が 3 の倍数なら, A は B から 2 点もらい,それ以外の場合には, B は A から 1 点もらう.
このとき,以下の問いに答えよ.
(1) A と B が同時にひとつずつサイコロを投げるとき,目の和が 3 の倍数である確率を求めよ.
(2) ゲームを 3 回行った後, A と B の持っている点が等しくなる確率を求めよ.
(3) ゲームを 3 回行った後, A の持っている点が B の持っている点より大きい確率を求めよ.
2009-10381-0104
教育地域科(理数教育コース)学部
【4A】 区間 0 ≦x≦2 ⁢π で定義された関数 f ⁡(x )= 2 ⁢sin⁡x cos⁡x +2 について,以下の問いに答えよ.
(1) f⁡( x) の極値を求めよ.
(2) 曲線 y =f⁡( x) と直線 y =1 は 2 つの交点をもつ.それらの座標を ( α,1 ), (β ,1) とおく.ただし, α<β とする.
このとき, cos⁡α , cos⁡β の値を求めよ.
(3) 定積分 ∫αβ f⁡( x)⁢ dx の値を求めよ.
2009-10381-0105
教育地域科(理数教育を除く学校教育課程,地域科学課程)学部
【4B】 a , b , c は定数とする.関数 f ⁡(x )=x 3+a⁢ x2+ b⁢x+ c は次の関係式
(x +3) ⁢f⁡( x)= x⁢f⁡ (x+ 1)
をみたす.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) a , b , c を求めよ.
(2) 定積分 ∫-1 1| f′⁡ (x) +x| ⁢dx の値を求めよ.
2009-10381-0106
工学部
【2】 t を 0 <t≦1 を満たす実数とする. O を原点とする座標平面上に点 P ( t,0 ) をとる.また,直線 l :y=- x 上に, s≦0 , PQ=1 を満たす点 Q ( s,-s ) をとる. P を通り x 軸に垂直な直線と, Q を通り l に垂直な直線との交点を R とするとき,以下の問いに答えよ.
(1) 線分 OR の長さを求めよ.
(2) t が 0 <t≦1 の範囲を動くとき,点 R の軌跡を求め,それを図示せよ.
(3) ∠ROP=60 ⁢° のとき,四角形 OPRQ の面積を求めよ.
2009-10381-0107
教育地域科学部【2】の類題
【3】 ▵OAB において, OA=a , OB=1 とする.頂点 O から直線 AB に下ろした垂線と直線 AB との交点を H とし, OH→ =t⁢ OA→+ (1- t)⁢ OB→ とするとき,以下の問いに答えよ.ただし, a>1 とする.
(1) 内積 OA→⋅ OB→ を a と t の式で表せ.
(2) 辺 AB の長さを a と t の式で表せ.
(3) AB=OA のとき, t を a の式で表せ.
2009-10381-0108
【4】 曲線 C 1:y= sin⁡x と C 2:y= 32 ⁢sin ⁡x+ 32 ⁢cos⁡ x について, 0≦x≦ π における C 1 と C 2 の交点の x 座標を a とするとき,以下の問いに答えよ.
(1) a の値を求めよ.
(2) C2 は曲線 y =b⁢sin ⁡x を x 軸方向に θ だけ平行移動して得られる.定数 b と定数 θ を求めよ.ただし, b>0 , -π≦ θ≦π とする.
(3) 0≦x ≦a の範囲で, C1 と C 2 および y 軸で囲まれた図形を x 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ.
2009-10381-0109
医学部
【1】 空間内に平行六面体 ABCD ‐EFGH がある. t を 0 <t<1 を満たす実数とし,辺 BC , CD , DH , HE , EF , FB を t :(1 -t) に内分する点を,それぞれ P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 とする. AB→ =a→ , AD→ =b→ , AE→ =c→ として,以下の問いに答えよ.
(1) 3 つの線分 P1 P4 , P2 P5 , P3 P6 の中点は一致することを示せ.また,この中点を M として, AM→ を a → , b→ , c→ を用いて表せ.
(2) 4 点 P1 , P2 , P3 , P5 が同一平面上にあるような t の値を求めよ.また,このとき 6 点 P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 も同一平面上にあることを示せ.
(3) AB=AD= AE=1 , ∠BAD=∠DAE =∠EAB であるとき,(2)で求めた t に対して,線分 P1 P2 , P1 P3 の長さの比および ∠ P1 P2 P3 の大きさを求めよ.
2009-10381-0110
【2】 次の条件によって定められる数列 { an } に関して,以下の問いに答えよ.
a1= 1, an+ 1=a n- n(n +1) ! ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
(1) 一般項 a n を求めよ.
(2) 2 以上の自然数 m に対して ∑k= 1m- 1 ak⁢a m-k を求めよ.
(3) 不等式 (a n) 2a2 ⁢n ⁢ 4n2 ⁢n+1 ( n=1 , 2 , 3 , ⋯ ) が成り立つことを証明せよ.
2009-10381-0111
【3】 楕円 C :x2 +4⁢y 2=4 上に点 P ( a,b ) をとる.ただし, 0<a <2 , 0<b <1 とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 点 P における C の法線 l と x 軸との交点を Q , 楕円 C の 2 つの焦点のうち x 座標が正のものを F とおく.このとき, QF PF の値は P のとり方によらずに一定であることを示せ.
(2) a=2⁢ cos⁡θ とおく. C の y 座標が正の部分,法線 l および y 軸により囲まれる図形の面積 S を θ を用いて表せ.ただし, 0<θ < π2 とする.
(3) θ が 0 <θ< π2 の範囲を動くとき, S の最大値を与える点 P の座標を求めよ.
2009-10381-0112
【4】 2 次の正方行列 M の表す 1 次変換 f により,点 ( 2,1 ) が点 ( 4,2 ) に,点 ( -1,1 ) が点 ( 1,-1 ) にそれぞれ移っている.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 行列 M を求めよ.
(2) 1 次変換 f により点 P が点 Q に移るとする. P が原点を除く座標平面上の点を動くとき, ( OQOP) 2 のとり得る値の範囲を求めよ.ただし, O は原点である.
(3) 定点 A 0 ( 0,1 ) をとり, f により A 0 の移る点を A 1 とする.以下, i を自然数として, f により A i の移る点を A i+1 とする.このとき自然数 n に対して,点 An の座標を求めよ.また,点 A1 , A3 , ⋯ , A 2⁢n- 1 , ⋯ は同一直線上にあることを示せ.