2009　岐阜大学　前期MathJax

【１】　実数$x$と$y$が，各々$5^x=81$と${135}^y=243$をみたすとき，以下の問に答えよ．ただし，${\log }_{3}5$が有理数でないことを用いてもよい．

(1)　$a={\log }_{3}5$とするとき，$x\text{，}$$y$をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(2)　$m\text{，}$$n\text{，}$$k$は自然数で，${\displaystyle \frac{m}{y}}-{\displaystyle \frac{n}{x}}=k$をみたすとする．このとき，$k$の最小値を求めよ．

【２】　面積が$1$であるような長方形$\mathrm{ABCD}$を考える．また，$t$を$0<t<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$なる実数とし，長方形$\mathrm{ABCD}$の$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{E}$を$\mathrm{BE}:\mathrm{EC}=t:(1-t)$となるようにとり，辺$\mathrm{DA}$上に点$\mathrm{F}$を$\mathrm{DF}:\mathrm{FA}=2t^2:(1-2t^2)$となるようにとる．四角形$\mathrm{ABEF}$の面積を$S_1\text{，}$四角形$\mathrm{CDFE}$の面積を$S_2$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$S_1$を$t$を用いて表せ．

(2)　$t$の値が変化するとき，$S_1$の最大値を求めよ．

(3)　$t$の値が変化するとき，${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$のとりうる値の範囲を求めよ．

【３】　$a$を実数の定数とする．$x$の関数$f(x)=x|x-2a|$の$0\leqq x\leqq 1$における最大値を$M$とおく．以下の問に答えよ．

(1)　$M$を$a$を用いて表せ．

(2)　$a$の値がすべての実数を変化するとき，$M$の最小値を求めよ．

【４】　右図のように$6$つの点を線分で結んだ図形の点$\mathrm{A}$にコマを置き，次のルールで線分にそってコマを動かすことを考える．

・$1$回の操作で隣接する点にコマを動かす．ただし，点$\mathrm{A}$および一度通った点へは動かせない．

・各操作における移動先の点は，移動可能な点の中から等しい確率で選ぶものとする．

・以上の操作を繰り返し，コマが点$\mathrm{B}$に達するか移動できる点がなくなったところで操作を終了する．

以下の問に答えよ．

(1)　コマが点$\mathrm{B}$に達する確率を求めよ．

(2)　操作が終了するまでの移動回数の期待値を求めよ．

【５】　座標空間の$5$点$\mathrm{A}$$(1,1,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,1,4)\text{，}$$\mathrm{C}$$(3,2,2)\text{，}$$\mathrm{D}$$(2,7,1)\text{，}$$\mathrm{E}$$(3,4,3)$を考える．以下の問に答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{AC}$のなす角を$\theta$とするとき，$\sin \theta$の値を求めよ．ただし，$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}$とする．

(2)　点$\mathrm{D}$から三角形$\mathrm{ABC}$を含む平面へ下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(3)　点$\mathrm{E}$を通り，三角形$\mathrm{ABC}$を含む平面に平行な平面を$\alpha$とする．四面体$\mathrm{ABCD}$を平面$\alpha$で切ったときの切り口の面積を求めよ．

【１】　$a\text{，}$$b\text{，}$$m$を正の実数とする．$xy$平面上の点$\mathrm{A}$$(a,0)$から直線$y=mx$へ下ろした垂線の足を${\mathrm{A}}^{\prime }$とし，$x$軸に関して${\mathrm{A}}^{\prime }$と対称な点を$\mathrm{P}$とする．また，点$\mathrm{B}$$(0,b)$から直線$y=mx$へ下ろした垂線の足を${\mathrm{B}}^{\prime }$とし，$y$軸に関して${\mathrm{B}}^{\prime }$と対称な点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$のそれぞれの座標を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(3)　$m$の値がすべての正の実数を変化するとき，$\mathrm{R}$の軌跡を求め，それを図示せよ．

【２】　$r$を正の定数とし，側面の展開図が半径$r$の扇形で与えられる直円錐を考える．この円錐の底面の半径を$x\text{，}$体積を$V$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)　$V$の最大値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

(2)　円錐の側面積と底面積の和を$S$とし，$Q$を$Q={\displaystyle \frac{V^2}{S^3}}$とする．$Q$の最大値，およびそのときの$x$の値を求めよ．