2009　岐阜大学　後期MathJax

【１】　$p$を$0\leqq p\leqq 1$なる定数とする．右図のように，$4$つの点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を$5$本の線分で結ぶ．各線分が青で塗られる確率は$p\text{，}$赤で塗られる確率は$1-p$であり，各線分は，これらの確率にもとづいて，あらかじめ青または赤のいずれか一方の色で塗られている．以下の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{B}$を出発して，赤い線分を通らないで，青い線分のみを通って点$\mathrm{C}$へ行くことができる確率を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}$を出発して，赤い線分を通らないで，青い線分のみを通って点$\mathrm{D}$へ行くことができる確率を求めよ．

【２】　$x$の関数$f(x)={(x+1)}^2{e}^{-x}$$\text{（}-2<x<2\text{）}$を考える．以下の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底であり，$e>2.7$である．

(1)　$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(2)　実数$k$に対し，$x$の方程式$f(x)=k$の解の個数を求めよ．

(3)　$f(x)$が極値をとる$x$の値の中で最大のものを$a$とする．曲線$y=f(x)\text{，}$直線$x=a\text{，}$および$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【３】　$R$は正の実数，$a$は実数とする．実数$x$についての命題

$\left|x\right|<R$ならば$|x^2+a|<R$である

を考える．以下の問に答えよ．

(1)　この命題が真となるために$R\text{，}$$a$がみたすべき必要十分条件を求めよ．

(2)　どんな$R$に対しても，この命題が真とならない$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　この命題が真となるような$a$が存在する$R$の値の範囲を求めよ．

【４】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数とし，行列$A=\left(\begin{array}{cc}-7& 9\\ a& a+8\end{array}\right)\text{，}$$B=\left(\begin{array}{cc}-4& b\\ b& 2\end{array}\right)\text{，}$$X=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ c& 3\end{array}\right)$が，$XA=BX$をみたしているとする．以下の問に答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を求めよ．

(2)　$n$を正の整数とするとき，$A^n$を求めよ．

【５】　$xy$平面上において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円を$A$とする．また，円$B$を円$A$に外接しながら動く半径$1$の円，円$C$を円$A$に内接しながら動く半径$1$の円とし，円$B\text{，}$円$C$上の固定点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の動きを考える．

　円$B$は円$A$に接したまま，すべることなく回転しながら動き，その中心$\mathrm{E}$は${\mathrm{E}}_0$$(3,0)$を出発して，$(0,3)$を経由し$(-3,0)$までを動くものとし，点$\mathrm{P}$の最初の座標は$(4,0)$とする．また，円$C$は円$A$に接したまま，すべることなく回転しながら動き，その中心$\mathrm{F}$は${\mathrm{F}}_0$$(-1.0)$を出発して$(0,1)$を経由し$(1,0)$までを動くものとし，点$\mathrm{Q}$の最初の座標は$(-2,0)$とする．なお，円$B$と円$C$は，つねに$\mathrm{\angle }{\mathrm{E}}_0\mathrm{OE}=\mathrm{\angle }{\mathrm{F}}_0\mathrm{OF}$をみたすように動くものとする．$\theta =\mathrm{\angle }{\mathrm{E}}_0\mathrm{OE}$とおき，$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．以下の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標を，それぞれ$\theta$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L$とする．$\theta$の値が$0\leqq \theta \leqq \pi$を変化するとき，$L^2$の最大値とそのときの$\theta$の値，および$L^2$の最小値とそのときの$\theta$の値を求めよ．