2009　浜松医科大学　前期医学部MathJax

【１】(1)　重心と外心が一致する三角形の形を求めよ．

(2)　$3$点$\mathrm{A}$$({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})\text{，}$$\mathrm{B}$$(\cos \beta ,\sin \beta )\text{，}$ $\mathrm{C}$$(\cos \gamma ,\sin \gamma )$$({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \beta <\gamma <2\pi )$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$が

$\cos \beta +\cos \gamma =\sin \beta +\sin \gamma =-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$

を満たすとき，$\beta$と$\gamma$の値を求めよ．

(3)　$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$$\text{（}0\leqq \alpha <\beta <\gamma \leqq \pi \text{）}$が

${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma ={\displaystyle \frac{3}{2}}$

$\sin \alpha \cos \alpha +\sin \beta \cos \beta +\sin \gamma \cos \gamma =0$

を満たすとき，$\beta -\alpha$と$\gamma -\alpha$の値を求めよ．またこのとき，

$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma$

の最大値をとる$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$の値を求めよ．

【２】　$k$は$6$以上の整数とする．各成分が$3$から$k$までの整数値をとる空間ベクトル$\overrightarrow{u}=(a,b,c)$で，$a\ne b\text{，}$$b\ne c\text{，}$$c\ne a$を満たすもの全体のなす集合を$U$とする．この$U$を全体集合とし，その部分集合$S$の補集合を$\bar{S}$で，$S$の要素の個数を$n(S)$で表わす．

　さて，各$\overrightarrow{u}=(a,b,c)\in U$ に基づいて，$5$つの空間ベクトル

$\overrightarrow{v_1}=(2,a,1)\text{，}$$\overrightarrow{v_2}=(a,1,b)\text{，}$$\overrightarrow{v_3}=(1,b,c)\text{，}$

$\overrightarrow{v_4}=(b,c,2)\text{，}$$\overrightarrow{v_5}=(c,2,a)$

を定める．$\overrightarrow{h}=(1,1,1)$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　実数$t$が変化するとき，${|\overrightarrow{v_1}-t\overrightarrow{h}|}^2$の最小値を$m(a)$とする．和${\displaystyle \sum _{a=3}^k}m(a)$を求めよ．

(2)　$U$の部分集合$U_1\text{，}$$U_2\text{，}$$V$を次のように定める．

$U_1=\{\overrightarrow{u}=(a,b,c)|\overrightarrow{u}\in U\text{，}a<b<c\}$

$U_2=\{\overrightarrow{u}=(a,b,c)|\overrightarrow{u}\in U\text{，}c<a<b\}$

$V=\{\overrightarrow{u}=(a,b,c)|\overrightarrow{u}\in U$に基づく空間ベクトル$\overrightarrow{v_i}$と$\overrightarrow{h}$の内積$\overrightarrow{v_i}\cdot \overrightarrow{h}$$\text{（}1\leqq i\leqq 5\text{）}$は，互いに異なる値をとる$\}$

このとき，$n(U_1\cap V)\text{，}$$n(\overline{U_1}\cap \overline{U_2})$の値をそれぞれ求めよ．

(3)　差$n(U_2\cap \bar{V})-n(U_1\cap \bar{V})$の値は，二項係数${}_{k-4}C_2$に等しいことを示せ．

【３】　実数$a\text{，}$$b$に対し，定積分

$I(a,b)={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{(a\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}+b)}^2\sin \theta \mathit{d\theta }$

を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　次の不等式が成り立つことを示せ．

$I(a,b)\leqq (1+{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}})(a^2+2b^2)$

(2)　もう一つの定積分を次式で定める．

$J(a,b)={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}(a\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}+b)\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}\sin \theta \mathit{d\theta }$

このとき，

$I(a,b)-J(a,b)={(a+pb-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+q{b}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

が成り立つような有理数$p\text{，}$$q$の値を求めよ．

(3)　$a\text{，}$$b$がともに整数ならば，$I(a,b)\geqq J(a,b)$となることを示せ．また，等式が成り立つような整数の組$(a,b)$をすべて求めよ．

【４】　自然数$n$に対し，関数$f_n(x)=x^n{e}^{-x}$$\text{（}0\leqq x<\infty \text{）}$を定める．$\underset{x\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=0$であることを必要ならば利用して，以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f_n(x)$の最大値を$M_n$とする．次の等式が成り立つことを示せ．

$\log \left({\displaystyle \frac{M_{n+1}}{M_n}}\right)={\displaystyle {\int }_n^{n+1}}\log x\mathit{dx}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(2)　座標平面上の曲線$C\text{：}\left|y\right|=x^4{e}^{-x}$$\text{（}0\leqq x<\infty \text{）}$を考える．$x_0>0$として，$C$上の点$(x_0,y_0)$における$C$の接線の方程式を求めよ．また，これら$C$の接線の中で，$y$切片が$\sqrt{M_4}$に一致するのは全部で何本あるか．

(3)　$k$は正の実数である．双曲線$y={\displaystyle \frac{k}{x}}$と$C$の共有点は何個あるか，$k$の値によって分類せよ．