2009　三重大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$を実数とする．

(1)　$2$次不等式$a{x}^2+bx+c\geqq 0$の解が${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$となるような$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を求めよ．ただし，$\left|b\right|=1$とする．

(2)　$\theta$に関する不等式$\alpha \sin \theta \tan \theta +\beta \cos \theta +\tan \theta \geqq 0$の，$0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲での解が${\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$となるような$\alpha \text{，}$$\beta$を求めよ．

【２】　サイコロを$2$回ふって，$1$回目に出た目の数を$M\text{，}$$2$回目に出た目の数を$N$とする．出た目に応じて$2$つのベクトル

$\overrightarrow{a}=(\cos {\displaystyle \frac{M}{3}}\pi ,\sin {\displaystyle \frac{M}{3}}\pi )\text{，}$$\overrightarrow{b}=(\cos {\displaystyle \frac{N}{3}}\pi ,\sin {\displaystyle \frac{N}{3}}\pi )$

を定める．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を．$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$と書くとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$となる確率を求めよ．

(2) $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}<0$となる確率を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の期待値を求めよ．

【３】　直線$y=-x-a^2-a+1$を$l\text{，}$円${(x-a-1)}^2+{(y+a^2+a)}^2=1$を$O$とする．円$O$の中心を$\mathrm{P}$$(x,y)$とおくとき，以下の問に答えよ．

(1)　$a$があらゆる実数の値を取るとき，$\mathrm{P}$$(x,y)$の軌跡を求め，図示せよ．

(2)　$l$と$O$とが共有点を持つとき，$a$が取る値の範囲を求めよ．また，このときの$\mathrm{P}$$(x,y)$の軌跡を$C$とする．$C$は(1)で求めた曲線のどの部分か，図示せよ．

(3)　点$(x,y)$が(2)で求めた曲線$C$上にあるとき，$x+y$が取る値の最小値を求めよ．また，そのときの$x\text{，}$$y$の値も求めよ．

【４‐１】　$f(x)=x\sin x+\cos x+1$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$とする．

(1)　$f(x)$の導関数を求めよ．

(2)　$f(x)$の最大値，最小値を求めよ．

(3)　$0\leqq x\leqq \pi$の範囲で$y=f(x)$のグラフと$x$軸，$y$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【４‐２】　関数$f(x)=\left|x^3\right|-|x^2(x-3)|+2$について以下の問に答えよ．

(1)　$f(x)$の増減，極値を調べ，グラフを描け．

(2)　定数$k$について，$f(x)=k$を満たす$x$の個数を調べよ．

(3)　$y=f(x)$のグラフと直線$y=-x\text{，}$および$x$軸の$3$つで囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　以下の問に答えよ．

(1)　$0$以上の$2$数$\alpha \text{，}$$\beta$について，相加平均${\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}$が相乗平均$\sqrt{\alpha \beta }$以上であることを証明せよ．

(2)　$a>0\text{，}$$b>0\text{，}$$m>0$とする．座標平面上で点$(a,b)$を通り，傾きが$-m$の直線の，$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ求めよ．

(3)　(2)のふたつの交点と原点の$3$点を頂点とする三角形の面積の，$m$を変化させたときの最小値を求めよ．

【３】　$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を，それぞれの座標が$(0,0)\text{，}$$(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}$$(-1,0)$で与えられる平面上の点とする．また，$0\leqq \theta <\pi$として，点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通る直線と，$y$軸との交点を$\mathrm{R}$$(0,t)$とする．このとき以下の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{\angle RQO}$を$\theta$で表せ．また$t$を$\theta$の関数として表せ．

(2)　$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を通る直線の方程式を$t$を用いて表せ．この直線と，$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円との交点を$t$を用いて表せ．また$\cos \theta \text{，}$$\sin \theta$を$t$で表せ．

(3)　$\theta$を$t$の関数と見たとき，${\displaystyle \frac{\mathit{d\theta }}{\mathit{dt}}}={\displaystyle \frac{2}{1+t^2}}$となることを示せ．

(4)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{1}{1+\sin \theta +\cos \theta }}\mathit{d\theta }$を求めよ．

【４】　$2$次の正方行列$A\text{，}$$B$をそれぞれ，

$A={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{cc}1& -\sqrt{2}\\ -\sqrt{2}& 2\end{array}\right)\text{，}$$B={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}2& \sqrt{2}\\ \sqrt{2}& 1\end{array}\right)$

のように定めるとき，以下の問に答えよ．

(1)　$A^2\text{，}$$B^2\text{，}$$AB$および$BA$を計算せよ．

(2)　正の整数$n$について，${(A+B)}^n=a_{n}A+b_{n}B$と書けることを証明し，数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$および${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{b}_n$が収束するかどうか調べ，収束するならばその値も求めよ．

【２】　以下の問に答えよ．

(1)　$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)P$を満たす$x\text{，}$$y\text{，}$$z$についての整式$P$を求めよ．

(2)　$0$以上の数$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$に対し，その相加平均${\displaystyle \frac{\alpha +\beta +\gamma }{3}}$が相乗平均$\sqrt[3]{\alpha \beta \gamma }$以上になることを示せ．

(3)　$x$の方程式$x^3-(3+\cos \theta )x^2+(3-\cos \theta )x-1=0$の解$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$がすべて正であるような$\theta$を求め，そのときの方程式を解け．ただし$0\leqq \theta <2\pi$とする．

【３】　$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を，それぞれの座標が$(0,0)\text{，}$$(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}$$(-1,0)$で与えられる平面上の点とする．また，$0\leqq \theta <\pi$として，点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通る直線と，$y$軸との交点を$\mathrm{R}$$(0,t)$とする．このとき以下の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{\angle RQO}$を$\theta$で表せ．また$t$を$\theta$の関数として表せ．

(2)　$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を通る直線の方程式を$t$を用いて表せ．この直線と，$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円との交点を$t$を用いて表せ．また$\cos \theta \text{，}$$\sin \theta$を$t$で表せ．

(3)　$\theta$を$t$の関数と見たとき，${\displaystyle \frac{\mathit{d\theta }}{\mathit{dt}}}={\displaystyle \frac{2}{1+t^2}}$となることを示せ．

(4)　${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{1}{1+\sin \theta +\cos \theta }}\mathit{d\theta }$を求めよ．

【４】　行列$X$を

$X=\left(\begin{array}{ccc}-{\displaystyle \frac{3}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}& 0\\ 4& 0& -1\\ -6& 0& {\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}\right)$

とおく．このとき次の問に答えよ．

(1)

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 1\\ -4& -4& -2\\ 6& 6& 3\end{array}\right)\text{，}$$B=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 4& -4& -4\\ -6& 6& 6\end{array}\right)$

とおく．このとき$A^2\text{，}$$B^2\text{，}$$AB\text{，}$$BA$を求めよ．

(2)　(1)の$A\text{，}$$B$に対して$X=aA+bB$を満たす定数$a\text{，}$$b$を求めよ．

(3)　正の整数$n$に対し，$X^n$を求めよ．

(4)　$X+X^2+X^3+\cdots$を求めよ．