2009　三重大学　後期MathJax

【１】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数とする．

(1)　$a$が$0$でない場合に，$2$次方程式$a{x}^2+bx+c=0$の解の公式を導け．

(2)　すべての場合について，方程式$a{x}^2+bx+c=0$の実数解を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を平面上の$3$点とし，三角形$\mathrm{OAB}$を考える．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OÁ}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=1\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=d$として以下の問に答えよ．

(1)　直線$\mathrm{OB}$に，点$\mathrm{A}$からおろした垂線と直線$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{AB}$に点$\mathrm{O}$からおろした垂線と線分$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{ED}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{ED}$の長さが同じであることを証明せよ．

【３】　$k$を定数とする．無限等比級数

$\sin x+(-{\displaystyle \frac{\cos x}{k}})\sin x$$+{(-{\displaystyle \frac{\cos x}{k}})}^2\sin x$$+{(-{\displaystyle \frac{\cos x}{k}})}^3\sin x+\cdots$

が収束するとき，その値を$f(x)$とおく．このとき以下の問に答えよ．

(1)　どのような$x$についても，この無限等比級数が収束するような，$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　$k=\sqrt{2}$とする．$0\leqq x\leqq \pi$の範囲で，$f(x)$の増減，極値を調べ，グラフを描け．

(3)　$k=\sqrt{2}$とする．$0\leqq x\leqq \pi$の範囲で，$y=f(x)$のグラフと$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　正の整数$n$に対し，$x$の整式$T_n(x)$が等式

$T_n(\cos \theta )=\cos n\theta$

をすべての実数$\theta$に対し満たしているとする．

(1)　$T_1(x)$および$T_2(x)$を求めよ．

(2)　$T_n(x)$の導関数${T_n}^{\prime }(x)$に対し，$\sin n\theta ={\displaystyle \frac{1}{n}}{T_n}^{\prime }(\cos \theta )\sin \theta$がすべての$\theta$に対し成立することを示せ．

(3)　$\cos n\theta =\cos \theta \cos (n-1)\theta -\sin \theta \sin (n-1)\theta$を用いて，

$T_n(x)=x{T}_{n-1}(x)+{\displaystyle \frac{1}{n-1}}(x^2-1){T_{n-1}}^{\prime }(x)$$\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$

が$n\geqq 2$に対し成立することを示せ．

(4)　$T_3(x)$および$T_4(x)$を求めよ．