2009　和歌山大学　前期MathJax

${\log }_2(1+|2-x|)-3{\log }_8{\displaystyle \frac{1}{1+\left|x\right|}}=2$

を満たす実数$x$をすべて求めよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$および$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$および$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{AG}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$が成り立つとき，$\mathrm{AP}\perp \mathrm{BD}$であることを示せ．

　円$C_k$が定められているとき，$l_1\text{，}$$l_2$と円$C_k$に接する円を$C_{k+1}$と定め，その中心を$(0,y_{k+1})$とする．ただし，$y_x<y_{k+1}$とする．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　円$C_n$の半径を$r_n$とするとき，${\displaystyle \frac{r_n}{y_n}}$を求めよ．

(2)　$y_n$を求めよ．

(3)　円$C_k$の面積を$S_k$とするとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{S}_k$を求めよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　接線$l\text{，}$曲線$y=f(x)$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

(1)　${(A+E)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{3}}(2E-A)$を示せ．

(2)　自然数$n$に対して

$B_n=A^{3n+2}-2A^{3n+1}+3A^{3n}$

とおく．$B_n^{-1}$は$A\text{，}$$E\text{，}$$n$を用いて表せることを示せ．

(1)　方程式$x\tan x-1=0$は$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$の範囲で実数解$\alpha$をただ一つもつことを示せ．さらに，${\cos }^2\alpha ={\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{1+{\alpha }^2}}$が成り立つことを示せ．

(2)　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\cos x}}$とする．$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，$f^{″}(x)>0$を示せ．

(3)　曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{\cos x}}$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}})$上の点$(\beta ,{\displaystyle \frac{1}{\cos \beta }})$における接線$l$が原点を通るとき，$C\text{，}$$l$および$y$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる回転体の体積は${\displaystyle \frac{\pi (2-{\beta }^2)}{3\beta }}$であることを示せ．ただし，$0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$とする．