2009　山口大学　前期MathJax

【１】　$2$つの実数$\alpha$と$\beta$に対して，数列$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=\alpha a_n+{\beta }^n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表しなさい．

(2)　一般項$a_n$を推定しなさい．

(3)　推定した一般項が正しいことを，数学的帰納法を用いて証明しなさい．

【２】　曲線$y=x^2$および$y=2\left|x\right|+1$をそれぞれ$C_1\text{，}$$C_2$とし，$C_1$と$C_2$とで囲まれた領域を$A$とする．ただし，$A$は境界を含むものとする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めなさい．

(2)　領域$A$の面積を求めなさい．

(3)　点$\mathrm{P}$$(x,y)$が領域$A$内を動くとき，${\displaystyle \frac{x}{2}}+y$の最大値と最小値を求めなさい．

【３】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$人が次のようなゲームをする．$1$枚の硬貨を何回か投げて表が裏よりも先に$3$回出たら$\mathrm{A}$の勝ち，反対に裏が表よりも先に$3$回出たら$\mathrm{B}$の勝ちとし，ゲームを終了する．例えば，$1$回目に表，$2$回目に裏，$3$回目に表，$4$回目に表が出た場合には$\mathrm{A}$の勝ちである．ゲーム終了時に，得点として勝った者には$1$点を，負けた者には$x$点を与えることにする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$1$回目に表が出たとする．このとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい．

(2)　$x=-0.5$とし，$1$回目に表が出たとする．このとき，$\mathrm{A}$の得点の期待値を求めなさい．

(3)　$1$回目に表が出たとする．このとき，$\mathrm{A}$の得点の期待値が$0$点となるように$x$の値を定めなさい．

【４】　$m$を自然数とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$m^2$を$5$で割ったときの余りは，$0\text{，}$$1\text{，}$$4$のいずれかであることを証明しなさい．

(2)　$m^2$が$5$の倍数ならば，$m$は$5$の倍数であることを証明しなさい．

(3)　$\sqrt{5}$が無理数であることを証明しなさい．

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 1\end{array}\right)$と自然数$n$に対して，$B_n={(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n{A}^n$とおく．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$B_1\text{，}$$B_2\text{，}$$B_3$を求めなさい．

(2)　$B_n$を求めなさい．

【３】　媒介変数表示された曲線$C$

$x=2\theta -\sin \theta \text{，}$$y=2-\cos \theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$

に対して，次の問いに答えなさい．

(1)　${\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{d\theta }}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{d\theta }}}$を計算しなさい．

(2)　${\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{d\theta }}}>0$であることを示し，$x$がとる値の範囲を求めなさい．

(3)　曲線$C$を表す関数を$y=f(x)$とする．${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}$を$\theta$の関数として表しなさい．

(4)　関数$y=f(x)$の増減を調べなさい．

(5)　曲線$C\text{，}$$x$軸および$2$直線$x=0\text{，}$$x=4\pi$で囲まれた図形の面積を求めなさい．

【４】　放物線$y=x^2$を$C_1$とし，$y=a{x}^2+bx+c$$\text{（}a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数，$a\ne 0\text{）}$を$C_2$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$C_1$上の点$\mathrm{Q}$$(s,s^2)$における$C_1$の接線が，$C_2$上の点$\mathrm{P}$$(t,a{t}^2+bt+c)$を通るとする．このとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$s\text{，}$$t$がみたす関係式を求めなさい．

(2)　(1)で求めた関係式を$s$についての$2$次方程式としてみたとき，この方程式が異なる$2$つの実数解をもつための$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$t$についての条件を求めなさい．

(3)　$C_2$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{P}$から$C_1$へ接線を引くことを考える．$\mathrm{P}$のとり方によらず，常に$\mathrm{P}$から$C_1$へ異なる$2$本の接線が引けるための$a\text{，}$$b\text{，}$$c$についての条件を求めなさい．

【１】　数列$\{x_n\}$を

$x_1=1\text{，}$$x_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{1+x_n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　すべての自然数$n$に対して

${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x_n\leqq 1$

が成り立つことを証明しなさい．

(2)　すべての自然数$n$に対して

$|x_{n+1}-x_n|\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{4}{9}}\right)}^{n-1}$

が成り立つことを証明しなさい．

(3)　極限値

$\alpha =\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$

を求めなさい．（数列$\{x_n\}$が収束することは証明しなくてよい．）

【４】　点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接する正七角形の各頂点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{．}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_7$から長さが最大となる対角線を$2$本ずつ引き，それらの交点のうち${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{Q}}_7$を図のように定める．また，$\alpha =\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{7}}\text{，}$$\beta =\tan {\displaystyle \frac{\pi }{14}}$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　正七角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2\cdots {\mathrm{P}}_7$の面積を$\alpha$を用いて表しなさい．

(2)　点${\mathrm{Q}}_1$から線分${\mathrm{P}}_1\mathrm{O}$へ垂線を下し，その交点を$\mathrm{H}$とする．線分${\mathrm{Q}}_1\mathrm{H}$の長さを$\beta$を用いて表しなさい．

(3)　点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{．}$${\mathrm{Q}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_7\text{，}$${\mathrm{Q}}_7\text{，}$${\mathrm{P}}_1$を順番に線分で結ぶことによって囲まれた図形（図の灰色の部分）の面積を$\beta$を用いて表しなさい．