2009　山口大学　後期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$をそれぞれ次のように定義する．

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_1=1\text{，}$$b_{n+1}={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{n+k}}{{(k+1)}^2}}{b}_k$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4\text{，}$$a_5$を求めなさい．

(2)　$\{a_n\}$は，$n\geqq 2$に対して漸化式$a_{n+1}=2a_n$と表されることが，

$a_{n+1}={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k=a_n+{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{a}_k=2a_n$

よりわかる．このことを用いて，$n\geqq 2$に対して$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

(3)　$n\geqq 2$に対して，$b_{n+1}$を$b_n$の式で表しなさい．さらに，$n\geqq 2$に対して$\{b_n\}$の一般項を求めなさい．

【２】　次の問いに答えなさい．

(1)　関数$y={\displaystyle \frac{x-1}{x^2+1}}$の増減を調べなさい．また，漸近線を求めなさい．

(2)　$t$を実数とするとき，関数$y={\displaystyle \frac{x-t}{x^2+1}}$が極大値をとる$x$の値を$t$を用いて表しなさい．

(3)　問い(2)で求めた$x$の値を$f(t)\text{，}$そのときの極大値を$g(t)$とし，座標平面上の点$\mathrm{P}$$(x,y)$が$x=f(t)\text{，}$$y=g(t)$で表されているとする．$t$をすべての実数の範囲で変化させたとき，点$\mathrm{P}$が描く曲線を，$t$を消去して，$x\text{，}$$y$の関係式で表しなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(1)　次の定積分を求めなさい．

(a)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}x\cos x\mathit{dx}$(b)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\cos }^{2}x\mathit{dx}$

(2)　次の定積分が最小になるように，定数$a$の値を定めなさい．

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{(x-a)}^2\mathit{dx}$

(3)　次の定積分を最小にする定数$b$の値と，最小値を求めなさい．

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{(x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}-b\cos x)}^2\mathit{dx}$