2009　熊本大学　前期MathJax

【１】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_x^{2x}}({\displaystyle \frac{1}{7}}{t}^2-{\displaystyle \frac{2}{3}}t-3)\mathit{dt}$

で定める．このとき，次の問いに答えよ．

（問１）$f(x)=0$をみたす$x$をすべて求めよ．

（問２）$-3\leqq x\leqq 6$における$f(x)$の最小値を求めよ．

【２】　大小$2$個のサイコロを投げ，大きいサイコロの目の数を$p\text{，}$小さいサイコロの目の数を$q$とする．$y=p{x}^2$のグラフと$y=qx+{\displaystyle \frac{1}{4}}$のグラフの交点のうち，$x$座標が負のものを$\mathrm{A}\text{，}$正のものを$\mathrm{B}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

（問１）線分$\mathrm{AB}$の中点の$x$座標が$1$より大きくなる確率を求めよ．

（問２）$\mathrm{A}$の$x$座標が有理数となる確率を求めよ．

【３】　$a\text{，}$$b$を定数とし，$a>b$をみたすものとする．

$f(x)=a{\cos }^{2}x$$+\sqrt{3}(a-b)\cos x\sin x+b{\sin }^{2}x$

とするとき，次の問いに答えよ．

（問１）$f(x)$の最大値が$6\text{，}$最小値が$2$となるときの$a\text{，}$$b$を求めよ．

（問２）(問１)で求めた$a\text{，}$$b$に対して，$f(x)$を考える．$0\leqq x\leqq \pi$のとき，$f(x)>5$となる$x$の範囲を求めよ．

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であり，$\mathrm{▵OAB}$の面積と$\mathrm{▵OAC}$の面積が等しいとする．このとき，次の問いに答えよ．

（問１）$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$を示せ．

（問２）$\mathrm{▵ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であることを示せ．

【１】　実数$p$に対して，関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_{p-x}^p}(t^6+2t^3-3)\mathit{dt}$

で定める．このとき，次の問いに答えよ．

（問１）$f^{\prime }(x)$は，$x=p+1$のとき最小値をとることを示せ．

（問２）$f(p+1)$の$p>0$における最小値を求めよ．

【２】　$0<a<3$とする．次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．

$\{\begin{array}{l}{a}_1=a\\ a_{n+1}=\log (1+a_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を次の手順で求めよ．

（問１）$0<x<3$のとき，$0<\log (1+x)<x-{\displaystyle \frac{1}{6}}{x}^2$であることを示せ．必要があれば，$0.69<\log 2<0.70$を用いてもよい．

（問２）$0<a_n<{\displaystyle \frac{6}{n+1}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$であることを示し，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【３】　大小$2$個のサイコロを投げ，大きいサイコロの目の数を$p\text{，}$小さいサイコロの目の数を$q$とする．$y=p{x}^2$のグラフと$y=qx+1$のグラフの交点のうち，$x$座標が負のものを$\mathrm{A}\text{，}$正のものを$\mathrm{B}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

（問１）線分$\mathrm{AB}$の中点の$y$座標が$2$より小さくなる確率を求めよ．

（問２）$\mathrm{A}$の$x$座標が有理数となる確率を求めよ．

（問３）$\mathrm{\angle OAB}$が$90\mathrm{°}$より大きくなる確率を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は座標平面の原点である．

【４】　次の問いに答えよ．

（問１）$-\pi \leqq x\leqq \pi$のとき，$\sqrt{3}\cos x-\sin x>0$をみたす$x$の範囲を求めよ．

（問２）${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{6}}}\left|{\displaystyle \frac{4\sin x}{\sqrt{3}\cos x-\sin x}}\right|\mathit{dx}$を求めよ．

【１】　実数$t$に対して，座標平面上の点$(0,1)$と$(1,t)$を通る直線を$l$とし，行列$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 1\end{array}\right)$で表される移動により，直線$l$上の各点は，ある直線$m$上の点に移るとする．$l$と$m$の交点を$\mathrm{P}$$(x,y)$とするとき，次の問いに答えよ．

（問１）$x\text{，}$$y$を$t$の式で表せ．

（問２）$t$がすべての実数を動くとき，$\mathrm{P}$はある円周上を動くことを示せ．

【２】　$p>0$とする．各項が正である$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$は，次の条件をみたすものとする．

$\{\begin{array}{l}{a}_1=3\text{，}{b}_1=1\\ a_n-a_{n-1}=b_n-b_{n-1}+1\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}\\ (a_{n-1}+b_n)(b_n-b_{n-1})=2pn+3-b_n\\ \hfill \text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

このとき，次の問いに答えよ．

（問１）$a_n-b_n$を求めよ．

（問２）$a_n{b}_n$を求めよ．

（問３）$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n^3+b_n^3}{a_n^3-b_n^3}}$の値を$f(p)$とおくとき，$\underset{p\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{p}}\log f(p)$を求めよ．