2009　公立はこだて未来大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

問１　$\cos 2x$を$\cos x$で表せ．

問２　$\cos 2x+(\sqrt{2}-2)\cos x+1-\sqrt{2}=0$を満たす$x$を，$0\leqq x\leqq \pi$の範囲ですべて求めよ．

問３　関数$f(x)=\cos 2x-a\cos x+1$を考える．$f(x)=0$を満たす$x$が$0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲に存在するとき，実数$a$の値の範囲を求めよ．

【２】　つぎの方程式で表される座標平面上の直線$l$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a$と$b$は定数とする．

$l\text{：}(2a-1)x-(a+1)y+a+b=0$

問１　$b=4$のとき，直線$l$は$a$の値に関係なく点$(1,3)$を通ることを示せ．

問２　直線$l$が$a$の値に関係なく通る点の座標を，$b$を用いて表せ．

【３】　関数$f(x)=|x^2-8x+15|-a$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．

問１　$a=0$のとき，$y=f(x)$のグラフを座標平面上に描け．

問２　$y=f(x)$のグラフと$x$軸の交点が$3$個となるように，$a$の値を定めよ．

問３　$a=15$のとき，$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【１】　$a$を${\displaystyle \frac{1}{2}}$より大きい定数，$b$を正の定数とし，$2$次関数$f(x)=a{x}^2-bx$を考える．$y=f(x)$で与えられる座標平面上の放物線$C$が点$\mathrm{P}$$(2a,2a^2)$を通るとき，以下の問いに答えよ．

問１　$b$を$a$で表せ．

問２　放物線$C$上の点$\mathrm{Q}$における接線が，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$を通る直線に平行である．点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$a$で表せ．

問３　放物線$C$と線分$\mathrm{OP}$で囲まれる図形の面積$S$を$a$で表せ．

問４　問３で求めた$S$と三角形$\mathrm{OPQ}$の面積の比を求めよ．

【２】　$n$を自然数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

問１　$1$から$n$までの自然数の和は${\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$で与えられることを示せ．

問２　問１の結果を用いて，$n$から$2n$までの自然数の和$T(n)$を求めよ．

問３　問２で求めた$T(n)$が$6$の倍数のとき，$n$を$4$で割った余りが$0$または$3$であることを示せ．

【１】　関数$f(x)=x^3-(a+1)x^2+2ax$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a$は$0<a<1$を満たす定数とする．

問１　曲線$y=f(x)$と直線$y=ax$の交点をすべて求めよ．

問２　曲線$y=f(x)$と直線$y=ax$で囲まれた$2$つの部分の面積が等しくなるように，$a$の値を定めよ．

【２】　一次変換$f$を表す行列$A=\left(\begin{array}{cc}-1& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& -1\end{array}\right)$について，以下の問いに答えよ．

問１　座標平面上の点$\mathrm{P}$を$f$で移した点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$とは異なるとする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角$\theta$を求めよ．

問２　$A^3$を求めよ．

問３　$n$が自然数のとき，$A^{6n+2}$を求めよ．