2009　公立はこだて未来大学　推薦MathJax

【１】　以下のグラフを座標平面上に描け．

問１　$y=|ax+b|$（$a$と$b$は正の実数）

問２　$y=\left|{\displaystyle \frac{x+1}{2}}\right|-\left|{\displaystyle \frac{x-1}{2}}\right|$

【２】　$x$に関する$2$次方程式$x^2-(3a-4)x+2a^2-5a+3=0$を考える．ただし，$a$は$0\leqq a\leqq 1$を満たすとする．この$2$次方程式の異なる$2$つの実数解を，$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$で表すとき，以下の問いに答えよ．

問１　$\alpha +\beta$と$\alpha \beta$を$a$で表せ．

問２　${(\alpha -\beta )}^2$を$a$で表せ．

問３　${\alpha }^2-{\beta }^2$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．

【３】　つぎの数列$\{a_n\}$について，以下の問いに答えよ．ただし，$x$は実数とする．

$a_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$$a_2=-{\displaystyle \frac{1}{9}}x\text{，}$$a_3={\displaystyle \frac{1}{27}}{x}^2\text{，}$$a_4=-{\displaystyle \frac{1}{81}}{x}^3\text{，}$$\cdots$

問１　一般項$a_n$を求めよ．

問２　初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和$S_n$を求めよ．

【４】　原点を中心とする半径$1$の円を$C$とする．$C$の円周上に相異なる$2$点$\mathrm{P}$$(\cos \alpha ,\sin \alpha )\text{，}$$\mathrm{Q}$$(\cos \beta ,\sin \beta )$をとるとき，以下の問いに答えよ．

問１　線分$\mathrm{PQ}$を$a:(1-a)$に内分する点を$\mathrm{R}$とするとき，点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．ただし，$a$は$0<a<1$とする．

問２　内分点$\mathrm{R}$が円$C$の内部に存在することを示せ．