2009　宮城大学　前期MathJax

【１】　図１のように，一辺が同じ長さの$6$枚の正方形の紙に，サイコロの目と同じ位置に，同じ半径の円の穴をあけ，この$6$枚の正方形の紙を$6$つの面とする立方体をつくると図２のような立方体(イ)ができた．さらに，この立方体を．$6$つの面がそれぞれ切り離されることがないように展開し，立方体(イ)の内側になっていた面が外側の面となるように再び立方体をつくると図３のような立方体(ロ)ができた．

問１　立方体(イ)の$3$つの面が見える図２のような見取り図で，見える$3$つの面の穴の個数の和が最小になるときの最小値を求めなさい．

問２　立方体(ロ)の$3$つの面が見える図３のような見取り図で，見える$3$つの面の穴の個数の和が最大になるときの最大値を求めなさい．

問３　図４の$\mathrm{A}\text{〜}$$\mathrm{F}$の中で立方体(イ)および立方体(ロ)の展開図としてふさわしくないもの（該当しないもの）の記号をすべて答えなさい．該当しないものがない場合は「なし」と答えなさい．ただし，それぞれの面の穴の並ぶ向きが異なるものも該当しないものとする．

【２】　ある食品工場では，$3$種類の原材料$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を用いて，$2$種類の製品$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を生産している．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$それぞれの$1$個あたりの原材料の使用量および価格は下の表の通りである．

　現在，工場には$\mathrm{P}$が$40\mathrm{kg}\text{，}$$\mathrm{Q}$が$56\mathrm{kg}\text{，}$$\mathrm{R}$が$60\mathrm{kg}$ある．これらの原材料を用いて，最大の売り上げを得るためには，製品$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を何個ずつ生産すればよいかについて考える．ただし，生産した製品はすべて売れるものとする．

　$\mathrm{A}$の生産数を$x$個，$\mathrm{B}$の生産数を$y$個とし，以下の問いに答えなさい．

問１　$\mathrm{P}$の使用量について，$x$と$y$の関係を表す式は下の$\text{①}$の式となる．

$300x+100y\leqq 40000\cdots \text{①}$

　$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$の使用量について，$x\text{，}$$y$の関係を表す式をそれぞれ書きなさい．

問２　問１で求めた$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$の使用量についての$x$と$y$の関係式を表す全ての式を満たす領域を図示しなさい．

問３　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$をあわせた売上高を$z$とするとき，$z$と$x\text{，}$$y$との関係を表す式を書きなさい．

問４　売上高$z$の最大値を求め，そのときの$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$のそれぞれの生産個数（整数）を求めなさい．

【４-１】　地球表面における大気温度の長期的な変化は次の式で計算できるものとする．

$T_n=T_{n-1}+(P_n-Q_n)$

ただし

$T_n$：ある年$n$における世界の年間平均大気温度($\mathrm{°C}$)

$T_{n-1}$：その前年$n-1$における世界の年間平均大気温度($\mathrm{°C}$)

$P_n$：ある年$n$において，太陽から地球に入ってくるエネルギーの総量および地球上で発生するエネルギーの総量の合計などを$1$年間の平均大気温度の増加値に換算したもの($\mathrm{°C}$)

$Q_n$：ある年$n$において，地球から出ていくエネルギーの総量などを$1$年間の平均大気温度の減少値に換算したもの($\mathrm{°C}$)

　観測開始した年（$n=0$とする）までは$P_0=Q_0=1.0$の一定値で，$T_0$は過去から一定の$20\mathrm{°C}$であったものとする．$P_n$は一定（$P_n=P_0$）で，$Q_n$が$1$年後以降$\text{（}n\geqq 1\text{），}$$1$年ごとに前年に比べ$1\mathrm{\%}$ずつ減少するものとする．この場合，下記の問いに答えなさい．

問１　観測開始した年から$1$年後の世界の年間平均大気温度$T_1$は何度になるか答えなさい．また，導出過程も示しなさい．

問２　次の(1)および(2)に答えなさい．

(1)　初項が$1\text{，}$公比が$r$$\text{（}r\ne 1\text{）}$で，項数が$n$の等比数列の初項から第$n$項までの和$S_n$を求める式を導きなさい．また，導出過程も示しなさい．

(2)　観測開始した年から$50$年後の世界の年間平均大気温度$T_{50}$は何度になるか答えなさい．また，導出過程も示しなさい．

　ただし，${0.99}^{50}=0.6050$として計算しなさい．

【４-２】　図１は，ある広場に作られた池を上から見た図（平面図）を，$1$目盛を$1\mathrm{m}$とする方眼紙に描いたものである．池の四隅には，ステージ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$と斜面$\mathrm{B}$が設置されている．斜面$\mathrm{B}$には広場の地面から池の底面まで傾斜している平面で，それ以外の広場の地面，池の底面，ステージの上面は水平であるものとする．また，池の高さやステージなどの高さは，広場の地面を$\pm 0$として表示している．

0問１　この池に水を注ぎ，水位が広場の地面の高さから$-0.3\mathrm{m}$になった時，池の水は何${\mathrm{m}}^3$か答えなさい．

　ただし，解答は小数点以下第$3$位を四捨五入とする．

問２　水位が$-0.3\mathrm{m}$の状態のこの池に対して，図２に示す石$\mathrm{G}$と石$\mathrm{H}$を複数個使って，人が渡れる橋を架ける．解答用紙図４に実線で，石$\mathrm{G}$と石$\mathrm{H}$を配置して橋を描きなさい．また，水面部分全体を鉛筆で塗りつぶしなさい．

　ただし，以下の条件に従うこと．

・石$\mathrm{H}$を池の底面に設置することによって池の水位が約$11.6\mathrm{cm}$上昇するように，石$\mathrm{H}$の数を調整すること．

・石$\mathrm{G}$は常に水平に設置すること．

・石$\mathrm{G}$の四隅はすべて，ステージ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{C}$や石$\mathrm{H}$のいずれかの上に乗せること．

・石$\mathrm{G}$および石$\mathrm{H}$は分割できない．

問３　解答用紙図５は，水が入っていない池の等角図（図３参照）である．問２で完成した橋と水際の輪郭を図５の中に等角図法を使って正確に描きなさい．また，池や広場で遊んでいる$3$人以上のこどもたち（身長$1.5\mathrm{m}$程度）や池に満たされている水の様子も表現しなさい．