2009　宮城大学　後期MathJax

【１】 　以下のような手順にしたがって作業をしたものとして，設問に答えなさい．

　図１のような，一辺$8\mathrm{cm}$の正方形の型紙ア，イ，ウがある．それぞれの型紙には$1\mathrm{cm}$角のマス目が描かれており，網掛け部分は切り抜かれているものとする．型紙をそれぞれ重ね合わせ，一辺$8\mathrm{cm}$の赤色の台紙に型紙の各辺を合わせるように貼り付ける．その時，型紙は赤色の台紙からはみ出してはいけない．重ね合せる際にそれぞれの型紙を回転させても良いが，型紙は図示されている面を表とし，裏返して使うことはできない．

※問題用紙は，破ったり切り抜いたりしてはいけない．

問１　型紙アと型紙イを重ね，下地の赤が見える部分の面積が最大となる場合を探し，型紙アの頂点$\mathrm{A}$に重なる型紙イの頂点がどれになるかを答えなさい．また，そのときに見える赤の面積を求めなさい．

問２　型紙アと型紙ウを重ね，下地の赤が見える部分の面積が最大となる場合を探し，型紙アの頂点$\mathrm{A}$に重なる型紙ウの頂点がどれになるかを答えなさい．また，そのときに見える赤の面積を求めなさい．

問３　$3$枚の型紙ア，イ，ウを同時に重ね，切り抜かれた部分が重なってできる穴が$1$つもなく，下地の赤が見えなくなる場合の組み合わせが$1$種類だけある．そのときの型紙アの頂点$\mathrm{A}$に重なる型紙イ，ウの頂点はどれになるかを答えなさい．

【２】　点と辺（直線または曲線）からなる図形を考える．これが「一筆書き可能な図形である」とは，同じ辺を$2$度以上通らないで図形上の全ての辺を連続してなぞることができる図形のことである．ただし，同じ点を何度でも通過することはできる．例えば，図１の図形は一筆書き可能であるが，図２の図形は一筆書き可能ではない．

　図形において，奇数の数の辺と接する点を奇点，偶数の数の辺と接する点を偶点と呼ぶと，一般に，「図形中の奇点の数が$2$個，あるいは$0$個であることは，図形が一筆書き可能であるための必要十分条件である」ことが知られている．

　以下の問いに答えなさい．

問１　図３の立体図形$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$において，できるだけ少ない数の辺でかつ新しい点を作らないで$2$つの点を結び，この図形を一筆書きできるようにしたい．どの点どうしを結ぶかを記述し，その結果一筆書きであることを示しなさい．ここで，辺は必ずしも直線とは限らないこと，及び図１のように2 つの点を複数の辺で結ぶことも可能であることに注意しなさい．

問２　図３において，できるだけ少ない数の辺で$2$つの点を結ぶことによって一筆書き可能となる全ての場合の数を求めなさい．また，その導出過程も示しなさい．

問３　実際に，図形が一筆書き可能であるならば，図形中の奇点の数が$2$個，あるいは$0$個であることを，具体例ではなく一般的に論じなさい．その際，図形が一筆書き可能であるとき，一筆書きによって決まる途中の通過点及び始点と終点が，奇点になるか偶点になるかを考察すること．

【４-１】　図１のように$3$個の台座，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$がある．また，台座$\mathrm{A}$に，$3$つの大きさの異なる餅が大きさの順で（大きいものが下になるように）置いてある．

　上のルールに従って，この大きの異なるすべての餅を，図２のように台座$\mathrm{C}$に移動回数が最小になるように移動させることを考える．

　ただし，それぞれの餅は変形せず，大きさなどが途中で変わらないものとする．

問１　餅$1$個を，ある台座あるいはある台座にのっている餅の上から他の台座や他の台座にのっている餅の上へ移動させる作業を$1$回と数えるとき，図１の状態から図２の状態にするのに餅を何回移動させればよいか，回数を求めなさい．

問２　同じルールで，$\mathrm{A}$の台座にある大きさの異なる$4$個の餅を，全て台座$\mathrm{C}$に移動させるときの移動回数を求めなさい．

問３　同じルールで，$\mathrm{A}$の台座にある大きさの異なる$n$個の餅を，すべて$\mathrm{C}$の台座に移動させるときの移動回数$H(n)$を，餅が$n-1$個の場合の移動回数$H(n-1)$を用いて表しなさい．ただし，$H(1)=1$ であり，$n>1$ とする．

問４　問３で求めた漸化式から，台座$\mathrm{A}$に$n$ 個の餅がある場合，台座$\mathrm{C}$ まで大きさの異なる$n$ 個の餅を移動するために必要な移動回数を，餅の個数$n$ を用いて表しなさい．