2009　尾道市立大学　後期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$3$次関数$f(x)=-x^3+a{x}^2+bx+c$は$x=-1$と$x=2$で極値をとり，極大値は$12$である．このとき，定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

(2)　(1)で求めた関数$f(x)$に対して，曲線$y=f(x)$の接線の中で傾きが最大になる接線の方程式を求めよ．

【２】　$k$は実数の定数とするとき，$k{x}^2-2x+3k=0\text{，}$$x^2-kx-k=0$が共通の実数解を持つ$k$を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　等式$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$が成り立つことを示せ．

(2)　$\sin x+\cos x=t$のとき，$\sin 3x-\cos 3x$を$t$を用いて表せ．

(3)　関数$y=8{\sin }^{3}x$$+8{\cos }^{3}x$$+\sin 3x$$-\cos 3x$$+\sin 2x$$+4\sin x\cos x$$+3\sin x$$+3\cos x$の最小値と最大値，およびそのときの$x$の値を求めよ．ただし，$0\leqq x\leqq 2\pi$とする．