2009　高知女子大学　前期環境理学科MathJax

【１】　$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n+r^n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$で定める数列$\{a_n\}$について以下の問に答えなさい．ただし，$r$は${\displaystyle \frac{1}{2}}$でない定数である．

(1)　一般項$a_n$を$r$で表しなさい．

(2)　数列$\{a_n\}$が$0$に収束するための$r$の条件を求めなさい．

(3)　(2)で求めた条件で無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$は和をもつ．この和を$r$を用いて表しなさい．

【２】　関数$y={\displaystyle \frac{\sin x}{a+\cos x}}$について，以下の問に答えなさい．ただし，$a$は正の定数である．

(1)　この関数のグラフが原点$\mathrm{O}$において傾き${\displaystyle \frac{1}{3}}$の接線をもつとき，定数$a$を定めなさい．

(2)　(1)で定めた$a$の値を用いて，$0\leqq x\leqq 2\pi$の範囲でこの関数の最大値と最小値を求めなさい．また，この$a$の値を用いたときの定積分${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}{\displaystyle \frac{\sin x}{a+\cos x}}\mathit{dx}$を求めなさい．