2009　関西大　センター中期　理系学部2月8日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめ，(3)，(4)に答えよ．

(1)　$p$を$0<p<1$を満たす数とし，数列$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=p\cdot a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

とする．$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$に対して，$xy$平面上の点${\mathrm{A}}_n$を

${\mathrm{A}}_n=(a_n,{(-1)}^{n-1}{a}_n)$

とする．たとえば，${\mathrm{A}}_1=(1,1)\text{，}{\mathrm{A}}_2=(p,-p)$である．${\mathrm{A}}_n$と${\mathrm{A}}_{n+1}$との距離を$l_n$とおくと，$l_1=\boxed{\text{①}}$であり，一般項$l_n$は$n$と$p$を用いて表すと，$l_n=\boxed{\text{②}}$となる．自然数$m$に対し，$S_m={\displaystyle \sum _{n=1}^m}{l}_n$とおく．$S_m$を$m$と$p$を用いた式で表すと

$S_m=\boxed{\text{③}}$

となる．$\text{③}$により$\underset{m\to \infty }{\lim }{S}_m=\boxed{\text{④}}$となる．

(2)　数列$\{b_n\}$を

$b_n={\displaystyle \frac{1}{n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

とする．$n=\text{，}2\text{，}\cdots$に対して，$xy$平面上の点${\mathrm{B}}_n$を

${\mathrm{B}}_n=(b_n,{(-1)}^{n-1}{b}_n)$

と定める．点${\mathrm{B}}_n$と点${\mathrm{B}}_{n+1}$との距離を$L_n$とおく．$L_n$を$n$を用いて表すと，

$L_n=\sqrt{2}\sqrt{{\displaystyle \frac{\boxed{\text{⑤}}}{n^2{(n+1)}^2}}}$

となる．

(3)　自然数$n$に対して，不等式

${\displaystyle \frac{1}{n+1}}>{\displaystyle {\int }_{n+1}^{n+2}}{\displaystyle \frac{1}{x}}dx=\log (n+2)-\log (n+1)\cdots$(*)

が成り立つことを示せ．

(4)　$m$を自然数とし，(2)で定めた$L_n$に対し，$V_m={\displaystyle \sum _{n=1}^m}{L}_n$とおく．不等式(*)を利用して，

$\underset{m\to \infty }{\lim }{V}_m=+\infty$

となることを示せ．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$k$を実数とする．$\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 2\end{array}\right)+k\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 0\end{array}\right)$が逆行列を持たないとき，$k=\boxed{\text{①}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 2\end{array}\right)$とする．$2$次の正方行列$X$が

$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 2& -3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=XA$

を満たすとき，$X=\boxed{\text{②}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　$E$を$2$次の単位行列，$O$を$2$次の零行列とする．$A=\left(\begin{array}{cc}1-x& -7\\ 1& x\end{array}\right)$と表される行列が，実数$k$に対して$A^2+kA+E=O$を満たすとする．このとき$k=\boxed{\text{③}}$で，$x=\boxed{\text{④}}\text{，}\boxed{\text{⑤}}$である．ただし，$\boxed{\text{④}}<\boxed{\text{⑤}}$とする．

　$x=\boxed{\text{④}}$のとき

$A^7-A^6+A^5-A^4+A^3-A^2+A-E=\boxed{\text{⑥}}$

である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　$A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$とし，$P$を原点のまわりの角$\theta$の回転移動を表す行列とする．

$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

を満たすとき，$a=\boxed{\text{⑦}}\text{，}\theta =\boxed{\text{⑧}}°$である．ただし，$0°\leqq \theta \leqq 180°$とする．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$a$を実数とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }n\sin \left({\displaystyle \frac{a}{n}}\right)=\boxed{\text{①}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　関数$f(x)=x+{\displaystyle \frac{2}{x}}+k$の極大値が$0$となるとき，定数$k$の値は$\boxed{\text{②}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　関数$f(x)=\sqrt[5]{x+1}\log x$を微分すると$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{5x+5+\boxed{\text{③}}}{5x{(x+1)}^{\frac{4}{5}}}}$である．ただし，$\log x$は自然対数である．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　関数$f(x)=2^{\tan x}$を微分すると$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{④}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　曲線$y=\log (x+e)$について傾きが$e$である接線の方程式は

$y=ex+\boxed{\text{⑤}}$

である．ただし，$\log (x+e)$は自然対数である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{2x}{(x^2+1)(x^2+3)}}dx$を求めると，$\boxed{\text{①}}+C$である．ただし$C$は積分定数である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　$x\geqq 1$とする．このとき${\displaystyle {\int }_1^x}{\displaystyle \frac{\sqrt{\log t}}{t}}dt=\boxed{\text{②}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　$0\leqq x\leqq 2\pi$において，$y={\sin }^{3}x$のグラフと$x$軸とで囲まれてできる$2$つの部分の面積の和を求めると$\boxed{\text{③}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　不定積分${\displaystyle \int }{x}^3{e}^{-x^2}dx$を求めると$\boxed{\text{④}}+C$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt{n^2}+\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2-4}+\cdots +\sqrt{n^2-k^2}+\cdots +\sqrt{n^2-{(n-1)}^2}}{n^2}}$

は$\boxed{\text{⑤}}$である．