2010　小樽商科大学　前期MathJax

【１】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明は必要としない．

(1)　不等式$4{\log }_{\frac{1}{4}}(x-4)+{\log }_2(x-2)>0$を解くと$\boxed{\text{(a)}}$．

【１】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明は必要としない．

(2)　右図において，地点$\mathrm{A}$から地点$\mathrm{B}$への最短経路の総数は$\boxed{\text{(b)}}$．

【１】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明は必要としない．

(3)　$2010!=2^{n}m$（$m$は奇数）のとき，自然数$n$を求めると$n=\boxed{\text{(c)}}$．

【２】　$a$を実数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　不等式$y\leqq x^2-4ax+3a^2\text{，}0\leqq x\leqq 1\text{，}y\geqq 0$を満たす領域の面積$S$を$a$を用いて表せ．

(2)　面積$S$を最小にする$a$の値を求めよ．

【３】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明は必要としない．

(1)　$4\cos 15\mathrm{°}(1-{\sin }^{2}15\mathrm{°}-\sin 15\mathrm{°})-3(\sin 15\mathrm{°}+1)\cos 15\mathrm{°}=\boxed{\text{(ア)}}$．

【３】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明は必要としない．

(2)　$100$人の学生を対象に$100$点満点の試験を行った結果，平均点が$75$点，最高点が$95$点，最低点が$25$点であった．平均点以上の学生数を$M$とし，$M$の最小値を求めると$\boxed{\text{(イ)}}$．ただし，点数は全て自然数とする．

【３】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明は必要としない．

(3)　函数$y=x^3-3x$のグラフに，直線$y=-1$上のある点から傾きがそれぞれ$k\text{，}-k\text{（}k>0\text{）}$の$2$本の接線が引けるとき，その$2$本の接線の接点の$x$座標を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．このとき，$A={\alpha }^2+{\beta }^2\text{，}B={\alpha }^3+{\beta }^3$の値を計算すると$(A,B)=\boxed{\text{(ウ)}}$．

【４】　函数$f(x)$が，次の(ⅰ)．(ⅱ)を満たしている．

(ⅰ)　$f(0)\ne 0$である．

(ⅱ)　すべての実数$x\text{，}y$に対して，$f(x)+f(y)=2f\left({\displaystyle \frac{x+y}{2}}\right)\times f\left({\displaystyle \frac{x-y}{2}}\right)$が成立する．

$f(p)=f(q)$のとき，次の(1)〜(3)に答えよ．

(1)　$f(0)=1$を示せ．

(2)　$f(p+q)+f(p-q)$を$f(p)$を用いて表せ．

(3)　$f(p+q)=1$または$f(p-q)=1$が成立することを示せ．

【５】　座標平面上の点$\mathrm{A}(a,b)$を，原点を中心として$30\mathrm{°}$回転移動した点$\mathrm{B}$の$x$座標が$\sqrt{3}-2$で更に，点$\mathrm{B}$を，原点を中心として$-60\mathrm{°}$回転移動した点$\mathrm{C}$の$y$座標が$-1+2\sqrt{3}$であるとき，点$\mathrm{A}(a,b)$を求めよ．