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【5】 以下の文を読み,その中にある問1,問2,問3,問4,問5に答えよ.
自然数をで割ったときの余りはのどれかになるので,どんな自然数も,その余りに応じて,という通りの中のどれかの形をしている.ここでは以上の整数を表す.という形の自然数を特に型と呼ぶことにしよう.型の自然数どうしの積はまた型になる.なぜなら,
となるからである.この積にまた型の自然数をかけてもやはり型になるので,次の命題が成り立つことがわかる.
命題A:をいくつかの型の自然数とすると,これらの積もまた型の自然数である.
さて,素数というのは,と自分自身以外の約数を持たないような以上の自然数のことである.素数も上の通りのどれかの形をしているわけだが,はすべて偶数,すなわちを約数として持つので,以上の素数がこの形をしていることはない.また,はを約数として持つので,以上の素数がこの形をしていることはない.これらのことから,次の命題が成り立つことがわかる.
命題B:以上の素数は,かまたはのどちらかの形をしている.
という形の自然数を型と呼ぶことにする.
次の定理を証明しよう.
定理:型の素数は無限個ある.
証明:背理法で証明する.すなわち,型の素数が有限個しかないと仮定して,矛盾が生じるということを示す.
型の素数が有限個しかないと仮定して,を小さい方から順に並べたすべての型の素数とする.例えば,などである.
という型の自然数を考える.すなわち,以外の型の素数すべての積にをかけて,さらにそれにを加えたものがである.このと,の中の個々のとを比較すると,はを少なくとも倍以上してからを加えたものなので,どのよりも真に大きい.すなわち,はどんな型の素数よりも大きい.
は素数であるか,素数ではないかのどちらかではあるが,は素数ではないことがわかる.
問1:なぜが素数ではないのか,その理由を説明せよ.
は素数ではないので,つ以上の素数の積に素因数分解することができる.
をの素因数分解とする.すなわち,はすべて素数である.
はの倍数ではない.このことを背理法で示そう.がの倍数であると仮定すると,ある自然数があってとなっている.なので,となるが,これはということである.左辺はの倍数であるのに対し右辺はそうではないので矛盾である.がの倍数であると仮定して矛盾が生じたので,はの倍数ではないことが示された.同様に,はの倍数ではないことを示すことができる.
問2:がの倍数ではないことを背理法で示せ.
さらに,はすべて以上の素数なので,はの倍数でもない.
問3:がの倍数ではないことを背理法で示せ.
の素因数の中には含まれないので,はすべて以上の素数である.命題Bから,各は型であるかまたは型であるかのどちらかであるが,実は,各はすべて型である.このことを背理法で示そう.
の中に型の素数があったと仮定する.は以上の型の素数なのでのどれかに一致している.だとすると,は以上の型の素数の倍数となり矛盾が生じる.
問4:が以上の型の素数の倍数であると,なぜ矛盾が生じるのかを説明せよ.
の中に型の素数があると仮定して矛盾が生じたので,の各はすべて型であることが示された.
はすべて型であることが分かったが,そうすると命題Aから矛盾が生じる.以上から定理が証明された.
問5:なぜ命題Aから矛盾が生じるのか,その理由を説明せよ.