2010　山形大学　前期MathJax

【１】　$k$を定数とする．$2$次関数$y=2x^2+kx-{\displaystyle \frac{k}{2}}\cdots \text{①}$について，次の問に答えよ．

(1)　グラフの頂点の座標を$k$を用いて表せ．

(2)　$k$を動かすとき，頂点の軌跡を求めよ．

(3)　箱の中に$1$から$12$までの数字が$1$つずつ書かれた$12$枚のカードが入っている．その中から$3$枚のカードを同時に取り出す．このとき，次の(ⅰ)，(ⅱ)に答えよ．

(ⅰ)　$2$けたの数字が書かれたカードの枚数が$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3$となる確率をそれぞれ求めよ．

(ⅱ)　$2$けたの数字が書かれたカードの枚数を$k$とするとき，$2$次関数$\text{①}$の最小値が$-1$以下になる確率を求めよ．

【２】　$1$辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{PB}$の中点を$\mathrm{Q}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{R}\text{，}$線分$\mathrm{PR}$と線分$\mathrm{CQ}$の交点を$\mathrm{S}$とする．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(4)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AS}}\right|$の値を求めよ．

(5)　三角形$\mathrm{APS}$の面積を求めよ．

【３】　放物線$C\text{：}y=-x^2+1$と直線$l\text{：}y=a$がある．ただし，$0<a<1$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

(2)　$C$と$l$で囲まれた部分の面積を$S$とする．このとき，$S$を$a$を用いて表せ．

(3)　$S={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}$のとき，$a$の値を求めよ．

(4)　$y=|-x^2+1|$のグラフを描け．

(5)　$S={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}$のとき，曲線$y=|-x^2+1|$と$l$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　原点を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を満たす定数$\theta$に対して，$C_1$上に点$\mathrm{P}(\sin \theta ,\cos \theta )\text{，}$点$\mathrm{Q}(-\cos \theta ,-\sin \theta )\text{，}$点$\mathrm{R}(-\sin \theta ,-\cos \theta )$をとる．さらに，$\mathrm{P}$を中心とし，$\mathrm{Q}$を通る円を$C_2\text{，}\mathrm{R}$を中心とし，$\mathrm{Q}$を通る円を$C_3$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$C_2$と$C_3$の$2$つの交点のうち，$\mathrm{Q}$と異なる点を$\mathrm{S}$とする．このとき，$C_1$は$\mathrm{S}$を通ることを証明せよ．

(2)　$\mathrm{S}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(3)　$C_2$と$C_3$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$に対して$\Delta =ad-bc$とおく．このとき，行列

$S=\left(\begin{array}{cc}s-2& 4-s\\ 4-s& 2-s\end{array}\right)\text{，}T=\left(\begin{array}{cc}1-t& t^2-1\\ t+1& t-1\end{array}\right)$

について，次の問に答えよ．

(1)　$S$が$\Delta =-2.$を満たすとき，次の(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)に答えよ．

(ⅰ)　$S$を求めよ．

(ⅱ)　$S^{.2}$を求めよ．

(ⅲ)　$S+S^2+\cdots +S^{2n-1}+S^{2n}$を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．

(2)　$T$が$\Delta =0$を満たすとき，次の(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)に答えよ．

(ⅰ)　$T$を求めよ．

(ⅱ)　$T^2$を求めよ．

(ⅲ)　${(E+T)}^n$を求めよ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とし，$n$は自然数とする．

【４】　次の問に答えよ．

(1)　$e^x-1-x{e}^{\frac{x}{2}}>0$を満たす$x$の範囲を求めよ．

(2)　$x\ne 0$のとき，${\displaystyle \frac{e^x-1}{x}}$と$e^{\frac{x}{2}}$の大小を調べよ．

(3)　$p$を$0<p<1$である定数とする．$x>0\text{，}x\ne 1$のとき${\displaystyle \frac{x^p-1}{x-1}}$と$p{x}^{\frac{p-1}{2}}$の大小を調べよ．

【１】　$xy$平面上に$2$つの曲線

$C_1\text{：}y=\sqrt{3}\sin x\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{），}{C}_2\text{：}y=\cos x\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$

がある．このとき以下の問に答えよ．

(1)　曲線$C_1\text{，}{C}_2$のグラフをかけ．

(2)　$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めよ．

(3)　$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【２】　$f(x)=|x-2|\sqrt{x+1}\text{（}x\geqq -1\text{）}$として，以下の問に答えよ．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$および第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めよ．ただし，$x=-1\text{，}2$を除くものとする．

(2)　$f(x)$の増減，極値，凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)=x^4-12x^2+8$のとき，$f(x)+f^{″}(x)=0$によって表される$4$次方程式の実数解を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$\sin {\displaystyle \frac{19}{12}}\pi$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}x{\sin }^{2}xdx$を求めよ．

【２】　$xy$平面上に直線$l\text{：}y=x+2$と曲線$C\text{：}y=1-x^2$がある．直線$l$上を動く点$\mathrm{P}$から曲線$C$に異なる$2$本の接線を引き，接点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{QR}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とし，$2$点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha \text{，}\beta$とするとき，$\alpha +\beta =2t$および$\alpha \beta =-(t+1)$を示せ．

(2)　点$\mathrm{M}$の軌跡は曲線$y=-2x^2-x$であることを示せ．

(3)　点$\mathrm{M}$の軌跡と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　$a\text{，}b\text{，}c$を実数とするとき，関数$f(x)=a{x}^2+bx+c$に対して，関数$F(x)$を$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(x+1-t)f(t)dt$により定める．次の問いに答えよ．

(1)　$F^{″}(x)=f(x)+f^{\prime }(x)$および$F^{\prime }(0)=f(0)$を示せ．

(2)　$a=1\text{，}b=c=0$のとき，$F(x)$を求めよ．

(3)　$F(x)=x^4+x^2+26x$となるように，$a\text{，}b\text{，}c$の値を定めよ．

【４】　数列$\{x_n\}$が

$x_1=1\text{，}{x}_{n+1}=3x_n+{\displaystyle \frac{1}{2^{n+1}}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定められるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x_2\text{，}{x}_3$を求めよ．

(2)　$a_n={\displaystyle \frac{x_n}{3^n}}$で定まる数列$\{a_n\}$は

$a_{n+1}=a_n+{\displaystyle \frac{1}{6^{n+1}}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすことを示せ．

(3)　数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n-3^{n}c)=0$となる定数$c$を求めよ．

【１】　自然数全体から，偶数と$3^k$（$k$は自然数）と表される数を取り出して，小さい方から順に並べたものを

$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots \text{，}{a}_n\text{，}\cdots$

とする．この数列$\{a_n\}$について，次の問に答えよ．

(1)　$a_n=1000$となる$n$を求めよ．

(2)　$a_n=3^m$（$m$は自然数）となる$n$を$m$を用いて表せ．

(3)　一般項$a_n$を求めよ．

(4)　第$n$項までの和を$S_n$とする．自然数$m$に対して$3^m\leqq a_n<3^{m+1}$であるとき，$S_n$を$m\text{，}n$を用いて表せ．

【４】　関数$f(x)$は，すべての実数$x$に対して$f(x+2\pi )=f(x)$を満たす連続な関数とし，${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}f(t)dt>0$とする．さらに

$g(x)=x^3+(3x^2-1){\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(2t+x)dt$

とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　すべての実数$a$に対して${\displaystyle {\int }_0^a}f(t)dt={\displaystyle {\int }_{2\pi }^{a+2\pi }}f(t)dt$が成り立つことを示せ．

(2)　すべての実数$a$に対して${\displaystyle {\int }_a^{a+2\pi }}f(t)dt={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}f(t)dt$が成り立つことを示せ．

(3)　関数$g(x)$は$3$次関数であることを示せ．

(4)　関数$g(x)$の極大値と極小値を$c={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}f(t)dt$を用いて表せ．

(5)　方程式$g(x)=0$の異なる実数解がちょうど$2$個のとき，$c$の値を求めよ．