2010　茨城大学　前期MathJax

【１】　$\mathrm{▵ABC}$において$\mathrm{\angle A}\text{，}\mathrm{\angle B}\text{，}\mathrm{\angle C}$の大きさと対辺の長さをそれぞれ$A\text{，}B\text{，}C$および$a\text{，}b\text{，}c$で表す．$\mathrm{▵ABC}$の面積を$S$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\sin A}{\sin B\sin C}}={\displaystyle \frac{\cos B}{\sin B}}+{\displaystyle \frac{\cos C}{\sin C}}$を示せ．

(2)　$\sin A\text{，}\sin B\text{，}\sin C\text{，}{\displaystyle \frac{\sin A}{\sin B\sin C}}$を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}S$で表せ．

(3)　$a\geqq b\geqq c$ならば，${\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A}}\leqq {\displaystyle \frac{\cos B}{\sin B}}\leqq {\displaystyle \frac{\cos C}{\sin C}}$となることを示せ．

【２】　$f(x)=9^x-2\cdot 3^{x+1}-7$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$f(x)\leqq 0$となる実数$x$の範囲を求めよ．

(2)　$(x^2-4)f(x)\leqq 0$となる実数$x$の範囲を求めよ．

【３】　$a\text{，}b$を正の実数とする．放物線$C_1\text{：}y=x^2-a$と放物線$C_2\text{：}y=-b{(x-2)}^2$は，共に，点$\mathrm{P}(x_0,y_0)$において直線$l$に接しているとする．$S_1$を直線$x=0$と放物線$C_1$と接線$l$で囲まれた領域の面積とし，$S_2$を直線$x=2$と放物線$C_2$と接線$l$で囲まれた領域の面積とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$a\text{，}{x}_0\text{，}{y}_0$を$b$で表せ．

(2)　面積の比$S_1:S_2$を$b$で表せ．

【４】　自然数$m\text{，}n$に対して，$n=qn+r\text{，}0\leqq r<n$となる整数$q$と$r$をそれぞれ$m$を$n$で割ったときの商と余りという．ここでは$m$を$n$で割ったときの余り$r$を$m@n$で表すことにする．$a\text{，}b\text{，}c$を自然数とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$1^2@3\text{，}{2}^2@3\text{，}{3}^2@3$を求め，$a>3$に対して$a^2@3$を求めよ．

(2)　$(a+b)@c=\{(a@c)+(b@c)\}@c$となることを示せ．

(3)　$a^2+b^2=c^2$のとき$a\text{，}b$の少なくともひとつは$3$の倍数であることを示せ．

【１】　以下の各問に答えよ．

(1)　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$直線$\mathrm{AE}$と対角線$\mathrm{BD}$との交点を$\mathrm{F}\text{，}$直線$\mathrm{AE}$と直線$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$を$\overrightarrow{a}$で，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{b}$で表すとき，$3$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AE}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AF}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

【１】　以下の各問に答えよ．

(2)　関数$g(x)$を次式で定める．

$g(x)={\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}}{\{x\cos t+(1-x)\sin t\}}^{2}dt$

このとき，$g(x)$の最小値を求めよ．

【２】　$p$を$0<p<1$を満たす有理数の定数とし，関数$f(x)$を$f(x)={\left|x\right|}^p$と定める．以下の各問に答えよ．

(1)　曲線$y=f(x)$の概形を描け．

(2)　$a$を$0$でない実数の定数とするとき，点$(a,f(a))$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．また，接線と$x$軸の交点の$x$座標を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$を次のように定める：$a_1=1$とし，$n\geqq 2$のとき$a_n$を点$(a_{n-1},f(a_{n-1}))$における曲線$y=f(x)$の接線と$x$軸との交点の$x$座標とする．このとき一般項$a_n$を$n$と$p$を用いて表せ．

(4)　(3)で定めた数列$\{a_n\}$について，点$(a_n,f(a_n))$における曲線$y=f(x)$の接線と，$x$軸，および直線$x=a_n$とで囲まれた部分の面積を$T_n$とする．$T_n$を$n$と$p$を用いて表せ．

(5)　(4)の$T_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$について，無限級数$T_1+T_2+T_3+\cdots$が収束する$p$の範囲を求めよ．また，収束するときの無限級数の値を求めよ．

【３】　$\mathrm{▵ABC}$において$\mathrm{\angle A}\text{，}\mathrm{\angle B}\text{，}\mathrm{\angle C}$の大きさと対辺の長さをそれぞれ$A\text{，}B\text{，}C$および$a\text{，}b\text{，}c$で表す．$\mathrm{▵ABC}$の面積を$S$とし，$3$頂点を通る円の半径を$R$とする．$a\geqq b\geqq c$とするとき以下の各問に答えよ．

(1)　$\sin A\geqq \sin B\geqq \sin C$を示せ．

(2)　$S=2R^2\sin A\sin B\mathrm{sun}C$を示せ．

(3)　${\displaystyle \frac{a^2}{S}}\text{，}{\displaystyle \frac{b^2}{S}}\text{，}{\displaystyle \frac{c^2}{S}}$のそれぞれを${\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A}}\text{，}{\displaystyle \frac{\cos B}{\sin B}}\text{，}{\displaystyle \frac{\cos C}{\sin C}}$を用いて表せ．

(4)　${\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A}}\leqq {\displaystyle \frac{\cos B}{\sin B}}\leqq {\displaystyle \frac{\cos C}{\sin C}}$を示せ．

(5)　$A\geqq B\geqq C$を示せ．

(6)　${\displaystyle \frac{a^2}{S}}\geqq {\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}}}$を示せ．

(7)　$\mathrm{▵ABC}$が正三角形であるためには${\displaystyle \frac{a^2}{S}}={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}}}$であることが必要十分であることを示せ．

【１】　以下の各問に答えよ．

(1)　$n$を$3$以上の自然数とする．整式$x^n$を$x^2-4x+3$で割ったときの余りを求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．

(2)　数列

$1\text{，}1+3+1\text{，}1+3+9+3+1\text{，}1+3+9+27+9+3+1\text{，}\cdots$

の第$n$項から第$2n$項までの和を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．

【１】　以下の各問に答えよ．

(3)　微分可能な関数$f(x)$が$f(0)=0$かつ$f^{\prime }(0)=\pi$を満たすとき，次の極限値を求めよ．

$\underset{\theta \to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(1-\cos 2\theta )}{{\theta }^2}}$

【２】　$a$を$0$でない実数とする．

$C_1\text{：}y=x^2+(a+1)x-a(2a+1)$

$C_2\text{：}y=-x^2+(3a+1)x+a(2a-1)$

で表される曲線$C_1$と曲線$C_2$について，以下の各問に答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$が異なる$2$交点をもつことを示せ．

(2)　$C_1$と$C_2$の$2$交点を通る直線$l(a)$の方程式を求めよ．また，$l(a)$が$a$の値に関係なく必ず通る定点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　(2)で求めた定数$\mathrm{P}$が$C_1$と$C_2$の$2$交点を結んだ線分上にあるような$a$の値を範囲を求めよ．

【３】　点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,1)\text{，}\mathrm{B}(1,-1)$がある．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)　実数$s\text{，}t$によって，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定められる点$\mathrm{P}$を考える．$s\text{，}t$が$s+2t\leqq 2\text{，}s\geqq 0\text{，}t\geqq 0$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の存在する範囲を求めよ．さらに，その範囲が表す図形を図示せよ．

(2)　実数$u$によって，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-u)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2u\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定められる点$\mathrm{Q}$を考える．$u$が$0\leqq u\leqq 1$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{Q}$の存在する範囲を求めよ．さらに，その範囲が表す図形を図示せよ．

(3)　(1)で得られた図形が，(2)で得られた図形によって$2$つの図形に分割される．この$2$つの図形の面積をそれぞれ$S\text{，}T\text{（}S\leqq T\text{）}$とおくとき，${\displaystyle \frac{S}{T}}$の値を求めよ．

【４】　曲線$C\text{：}y=(x-3)\sqrt{x}\text{（}x>0\text{）}$の法線を考える．ただし，曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における法線とは，点$\mathrm{P}$を通り，この曲線上の点$\mathrm{P}$における接線に垂直に交わる直線のことである．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)　関数$y=(x-3)\sqrt{x}\text{（}x>0\text{）}$の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ．

(2)　曲線$C$上の点$(t,(t-3)\sqrt{t})$における法線の方程式を求めよ．

(3)　$a$を正の定数とするとき，点$(a,0)$を通る法線の本数を調べよ．