2010　茨城大学　後期MathJax

${\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{k^2}{2^k}}=a-{\displaystyle \frac{n^2+bn+c}{2^n}}$

となるように取れることを示したい．次の各問に答えよ．

(1)　$n=0\text{，}1\text{，}2$のすべての場合に上の等式が成り立つように定数$a\text{，}b\text{，}c$を定めよ．

(2)　(1)で定められた定数$a\text{，}b\text{，}c$は負でないすべての整数$n$に対して上の等式を満たしていることを示せ．

(1)　$0\leqq x\leqq \pi$での$f(x)$の最大値を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{\pi }{4}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}}$での$g(x)$の最大値が$\sqrt{a^2+1}$となるときの$a$の条件を求めよ．

(1)　$a^2$を$4$で割ると余りは$0$か$1$であることを示せ．

(2)　$a^2+b^2+c^2+d^2$が$4$の倍数となる確率を求めよ．

(3)　積$abcd$が$4$の倍数となる確率を求めよ．

(1)　円$C$の方程式を求めよ．

(2)　放物線$A$と円$C$とで囲まれた領域（放物線より上で円より下の部分）の面積を求めよ．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{k^2}{2^k}}=a-{\displaystyle \frac{n^2+bn+c}{2^n}}$

以下の各問に答えよ．

(1)　$n=1\text{，}2\text{，}3$のすべての場合に上の等式が成り立つように定数$a\text{，}b\text{，}c$を決定せよ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c$を(1)のように定めたとき，すべての自然数$n$に対して上の等式が成り立つことを証明せよ．

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(3e^{3t}-a{e}^{2t})dt$

と定める．以下の各問に答えよ．

(1)　関数$f(x)$が$x=0$で極小値を取るように$a$の値を定めよ．

(2)　(1)で定めた$a$について，$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)\text{，}\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)\text{，}f(x)$の増減と凹凸をしらべ，曲線$y=f(x)$の概形を描け．

(3)　(1)で定めた$a$について，連立不等式

$y\geqq f(x)\text{，}y\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}x\geqq 0$

で表される領域の面積を求めよ．

(1)　$C$と$l_u$が異なる$2$交点をもつ$u$の範囲を求めよ．

(2)　$u$が(1)で求めた範囲にあるとき，$D$に含まれる$l_u$の部分の長さ$f(u)$を求めよ．

(3)　$u$が(1)で求めた範囲にあるとき，$m_v$が$D$と$E_u$の共通部分を通るような$v$の最小値を$g(u)$とする．関数$g(u)$を求め，そのグラフの概形を描け．

(1)　$f(x)$の増減，極値，凹凸および変曲点をしらべ，曲線$y=f(x)$の概形を描け．

(2)　$2$つの曲線$y=f(x-a)$と$y=f(x)$が囲む図形の面積$S(a)$を求めよ．

(3)　$a$が$0<a\leqq 1$の範囲を動くとき，(2)で求めた$S(a)$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

$\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & 1\\ 1& \sin \theta \end{array}\right)\text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$

により移された点を$(x,y)$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　$\theta$が$0\leqq \theta <2\pi$の範囲を動くとき，点$(x,y)$の軌跡を表す方程式を求めよ．

(2)　(1)の軌跡を図示せよ．

(3)　(1)の軌跡を表す曲線の$y\leqq 0$の部分を$C$とする．このとき$C$と$x$軸で囲まれた部分が$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

(1)　$\tan 75\mathrm{°}$の値を求めよ．

(2)　初めに容器に入れられていた水の体積を求めよ．

(3)　容器に残っている水の体積を求めよ．