2010　茨城大学　推薦理(理学科)学部小論文MathJax

$f(x)=p{e}^{ax}\sin (bx)+q{e}^{ax}\cos (bx)$

このとき以下の各問に答えよ．

(1)　$f^{″}(x)-2a{f}^{\prime }(x)+(a^2+b^2)f(x)$を計算せよ．

(2)　$a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}b={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\text{，}f(0)=0\text{，}{f}^{\prime }(0)=1$であるとき，$p$と$q$を求めよ．

(3)　(2)のもとで，$f(x)$が極小となる$x$と，そのときの極小値をすべて求めよ．

(1)　$2$つの曲線の交点の$x$座標を$a$を用いて表せ．

(2)　$f(a)$を求めよ．

(3)　関数$f(a)$の値の取り得る値の範囲を求めよ．

(1)　整数$a\text{，}b$が$a\ne 1\text{，}b\ne 1$かつ$a>b>0$を満たすならば${\log }_{a}b\leqq {\log }_{b}a$が成り立つ．

(2)　$A\text{，}B$が$2$次正方行列ならば$(A-B)(A+B)=A^2-B^2$が成り立つ．

(3)　開区間$(0,1)$を定義域とする関数$f(x)$が$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$で微分可能ならば$f(x)$は$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$で連続である．