2010　岐阜大学　前期MathJax

【１】　$b$と$d$で実数の定数を表す．次の条件(＊)を考える．

(＊)　「すべての正の実数$x$に対して${\displaystyle \frac{x+b}{x^3+1}}<{\displaystyle \frac{x+2b+d}{x^3+2}}$である．」

　以下の問に答えよ．

(1)　$b+d>0$は，(＊)が成立するための必要条件であることを示せ．

(2)　$d>0$は，(＊)が成立するための必要条件であることを示せ．

(3)　$d$を任意の正の実数とする．(＊)が成立するための必要十分条件として，$b$が満たすべき範囲を$d$を用いて表せ．

【２】　$n$を$3$以上の整数とする．$1$から$n$までの番号を$1$つずつ重複せずに書いた$n$枚のカードが箱に入っている．この箱から$3$枚のカードを同時に取り出し，取り出したカードの番号を小さい順に$a\text{，}b\text{，}c$とする．$b-a=c-b$が成り立つ確率を$p_n$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$p_5$を求めよ．

(2)　$p_6$を求めよ．

(3)　$n$が奇数のとき，$p_n$を求めよ．

(4)　$n$が偶数のとき，$p_n$を求めよ．

【３】　空間内の四面体$\mathrm{OABC}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．辺$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{D}$は$\mathrm{OD}:\mathrm{DA}=1:2$を満たし，辺$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{E}$は$\mathrm{OE}:\mathrm{EB}=1:1$を満たし，辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{F}$は$\mathrm{BF}:\mathrm{FC}=2:1$を満たすとする．$3$点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$を通る平面を$\alpha$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$\alpha$と辺$\mathrm{OC}$が交わる点を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を表せ．

(2)　$\alpha$と直線$\mathrm{OC}$が交わる点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{OC}:\mathrm{CH}$を求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$を$\alpha$で$2$つの立体に分割する．この$2$つの立体の体積比を求めよ．

【４】　次の設問[Ⅰ]と[Ⅱ]に答えよ．

[Ⅰ]　$0<\theta <\pi$かつ$\theta \ne {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．${\tan }^2\theta >\sin \theta$を満たす$\sin \theta$の値の範囲を求めよ．

【４】　次の設問[Ⅰ]と[Ⅱ]に答えよ．

[Ⅱ]　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}R\text{，}\beta$を$a>0\text{，}b>0\text{，}c>1\text{，}R>0\text{，}0\leqq \beta <2\pi$を満たす実数とする．また，任意の実数$\theta$に対して，次の等式が成立しているとする．

${\log }_c{\displaystyle \frac{a^{\sin \theta }}{b^{\cos \theta }}}=R\sin (\theta +\beta )$

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$を用いて，$R\text{，}\sin \beta \text{，}\cos \beta$を表せ．

(2)　$a=c\text{，}b=c^{\sqrt{3}}$が成り立つとき，$\beta$の値を求めよ．

【５】　$a$を正の実数とし，$b$を負の実数とする．$xy$平面上の直線$C_1\text{：}y=x$と放物線$C_2\text{：}y=a{x}^2+bx$を考える．$C_1$と$C_2$は$2$点で交わっており，$C_1$と$C_2$の囲む図形の面積を$S$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$a$を$S$と$b$を用いて表せ．

(2)　$C_1$と$C_2$の交点の座標を$(p_1,q_1)\text{，}(p_2,q_2)$（ここで$p_1<p_2$）とし，$L=p_2-p_1$とおく．$p_1\leqq x\leqq p_2$における$a{x}^2+bx$の最小値の絶対値を$T$とする．$S$の値が一定になるように$a$と$b$を変化させたとき，${\displaystyle \frac{T-L}{L^3}}$の最小値を$S$を用いて表せ．

【４】　$xy$平面上で曲線$C\text{：}y=\log x$を考える．$p$を正の実数とし，$C$上の点$(p,\log p)$における接線を$l_p$で表す．以下の問に答えよ．

(1)　接線$l_p$の方程式を求めよ．

(2)　$0<p<1$の範囲で$p$を変化させたとき，接線$l_p$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積の最大値を求めよ．

(3)　$0<p<1$とする．接線$l_p$と$x$軸，曲線$C$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

【５】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$に関する以下の問に答えよ．$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$とおく．

(1)　$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$を証明せよ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$が有理数のとき，$A^3=5E$は成り立たないことを証明せよ．$\sqrt[3]{5}$は無理数であることを使ってよい．

(3)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$が実数のとき，$A^6=-E$を満たす$A$の$a+d$と$ad-bc$の組$(a+d,ad-bc)$をすべて求めよ．その各々の組に対し，それを与える$A$の例を$1$つずつ記せ．