2010　岐阜大学　後期MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}p\text{，}q\text{，}r$を正の実数とする．以下の問に答えよ．

(1)　$p\ne q$とする．このとき${\displaystyle \frac{p+q+r}{3}}>\sqrt[3]{pqr}$を証明せよ．

(2)　$x$を未知数とする方程式

$x^3-3a{x}^2+3b^{2}x-c^3=0$

が，相異なる$3$つの正の実数解を持つならば，$a>b>c$であることを証明せよ．

(3)　$x$を未知数とする方程式

$x^4-4a{x}^3+6b^2{x}^2-4c^{3}x+d^4=0$

が，相異なる$4$つの正の実数解を持つならば，$a>b>c>d$であることを証明せよ．

【２】　実数$\theta$に対して$f(\theta )=\cos (3\theta )+4\cos (2\theta )+7\cos \theta$とおく．以下の問に答えよ．

(1)　$t=\cos \theta$とおき，$f(\theta )$を$t$を用いて表せ．

(2)　$a$を実数の定数とする．$\theta$を未知数とする方程式

$f(\theta )-a=0\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$

の解の個数を求めよ．

【３】　$xyz$空間において，原点を中心とする半径$4$の球を$S$とし，点$(5,0,0)$を中心とする半径$3$の球を$T$とする．以下の問に答えよ．

(1)　空間領域$\{(x,y,z)|S\text{にも}T\text{にも接する平面で点}(x,y,z)\text{を通るものが存在する}\}$を表す不等式を求めよ．

(2)　点$(a,b,c)$は(1)の空間領域に含まれないとする．$S$にも$T$にも接する平面の中で点$(a,b,c)$からの距離が最小になる平面を考える．その平面と点$(a,b,c)$の距離を求めよ．

（注.　球と平面が$1$点のみを共有するとき，それらは接するという．）

【４】　$-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$として，座標平面上で

$x(t)=\sin t+\cos (2t)\text{，}y(t)=\cos t+\sin (2t)$

により媒介変数表示される曲線を$C$で表す．以下の問に答えよ．

(1)　$\underset{t\to \frac{\pi }{6}+0}{\lim }{\displaystyle \frac{y(t)}{x(t)}}$を求めよ．

(2)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，原点$(0,0)$と点$(x(t),y(t))$を通る直線が$x$軸となす角の大きさを$\theta (t)$とする．ここで$0\leqq \theta (t)\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．関数$\theta (t)$は$-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$でつねに増加することを示せ．

(3)　(2)の関数$\theta (t)$を$t$の式で表せ．

(4)　曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【５】　$a$と$b$を実数の定数とし，$a>0$とする．$xy$平面上で双曲線$C_1\text{：}{x}^2-y^2=1$と放物線$C_2\text{：}y=a{x}^2+b$を考える．以下の問に答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$の両方に接する直線が存在するための必要十分条件を，$a$と$b$を用いて表せ．

(2)　(1)の条件を満たす点$(a,b)$の領域を図示せよ．