2010　浜松医科大学　前期医学部MathJax

【１】　平行六面体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$において$\mathrm{AD}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{FG}$を$3\mathrm{:}2$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．対角線$\mathrm{AG}$と平面$\mathrm{HMN}$との交点を$\mathrm{P}$とする．

　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AH}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{HM}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{HN}}$それぞれを$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

【２】　$3$次関数$f(x)=x^3-3a{x}^2\text{（}a>0\text{）}$と，曲線$C\text{：}y=f(x)\text{（}-\infty <x<\infty \text{）}$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$の変曲点における接線の式を求めよ．

(2)　曲線$C$はこの変曲点に関して対称であることを示せ．

(3)　$b\text{，}c$は実数とする．$3$次方程式$x^3-3a{x}^2=bx-c$が$3$つの解をもち，それらの解が等差数列をなすとき，$c$を$a\text{，}b$の式で表せ．

(4)　(3)において，等差数列の公差が$2\sqrt{3}$に等しいとする．このとき，$3$次関数$f(x)-bx+c$の極値を求めよ．

【３】　座標平面上に${\mathrm{P}}_0(1,0)$を取る．${\mathrm{P}}_0$を通り$y$軸と平行な直線と曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{5x+3}{x+3}}$との交点を${\mathrm{P}}_1(x_1,y_1)$とする．次に，${\mathrm{P}}_1$を通り$y$軸に平行な直線と直線$l\text{：}y=x$との交点を${\mathrm{P}}_2(x_2,y_2)$とする．さらに，${\mathrm{P}}_2$を通り$y$軸と平行な直線と$C$との交点を${\mathrm{P}}_3(x_3,y_3)$とし，${\mathrm{P}}_3$を通り$x$軸に平行な直線と直線$l$との交点を${\mathrm{P}}_4(x_4,y_4)$とする．以下この操作を続けて点列${\mathrm{P}}_5(x_5,y_5)\text{，}{\mathrm{P}}_6(x_6,y_6)\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)\text{，}\cdots$を定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$のグラフを描け．また，その漸近線を求めよ．

(2)　$z_n={\displaystyle \frac{x_{2n-1}-3}{x_{2n-1}+1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき，${\displaystyle \frac{z_{n+1}}{z_n}}$を求めよ．

(3)　数列$\{z_n\}$はどのような数列か．また，その一般項$z_n$を求めよ．

(4)　数列$\{x_n\}$の一般項$x_n$を求めよ．さらに，極限$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}_n$を求めよ．

【４】　ある感染症の対策について考える．感染症の防御のためには感染拡大の試算が必要であり，感染拡大は自然にはその感染症の感染力と，致死性によって予測される．感染経路は，飛沫，接触，飲食などいろいろあり，感染力の制御，つまり感染を広げないために，ワクチン開発はもちろんであるが，外出規制（イベントの自粛や学級閉鎖など），手洗い呼びかけ，などが有効である．

　ここでは簡単のために，$1$つの感染症のみを考え，ある一定の集団（たとえば$1000$人程度の島）を対象とし，外部との接触，出入りがないと仮定する．最初の時点での過去感染者，未感染者，現在感染者の割合をそれぞれ$x_0\text{，}{y}_0\text{，}{z}_0$とする．現在感染者は$1$か月後にはすべて過去感染者となり，一度感染した人はもう感染しない．また幸いなことにこの感染により死者は生じず，また簡単のために他要因による死者，あるいは出生，転入出もないとする．

　$1$か月ごとの変動を見ることとし，$i$か月後の時点の上記の割合をそれぞれ，$x_i\text{，}{y}_i\text{，}{z}_i$で示す．症状は丁度$1$か月続くので，一人の人が現在感染者として数えられるのは$1$回のみである．

　過去感染者は，それまでの過去感染者に，$1$か月前の現在感染者を足したものである．また，現在感染者は，$1$か月前の未感染者と$1$か月前の現在感染者の接触頻度と，この感染症の感染力によって決まる．接触頻度の係数を$a\text{，}$感染力の係数を$b$とすると，現在感染者の割合は$1$か月前の現在感染者の割合，未感染者の割合，$a\text{，}b$の$4$つをかけたもので求められる．

　$x_0=0\text{，}{y}_0=0.9\text{，}{z}_0=0.1$として，以下の問いに答えよ．計算は小数点以下第$4$位を四捨五入して求めよ．

(1)　$x_i\text{，}{y}_i\text{，}{z}_i$を，$x_{i-1}\text{，}{y}_{i-1}\text{，}{z}_{i-1}\text{，}a\text{，}b$で表せ．

(2)　$a=1\text{，}b=1$として，$x_1\text{，}{y}_1\text{，}{z}_1\text{，}{x}_2\text{，}{y}_2\text{，}{z}_2\text{，}{x}_3\text{，}{y}_3\text{，}{z}_3$をそれぞれ求めよ．

(3)　$a=1\text{，}$感染力の係数$b$を$2$とした時の，$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3$を求めよ．

(4)　手洗いの徹底や外出規制が最初からなされたとして，$a=0.5\text{，}b=1$とした時の，$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3$を求め，(2)，(3)の結果と共に，縦軸を過去感染者の割合，横軸を時間として，$3$つの場合の変化を同一座標上にグラフで示せ．