2010　三重大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}$$p$を実数とし$a$は$a\geqq 1$を満たすものとする．

$f(x)=\{\begin{array}{ll}-x^2+3& \text{（}x\leqq a\text{）}\\ -a^2+3& \text{（}x>a\text{）}\end{array}$

とし，$C$を$y=f(x)$で定まるグラフとする．また$l$を$y=px+p+2$で定まる直線とする．

(1)　直線$l$は$p$によらず，定点を通ることを示せ．また$l$が放物線$y=-x^2+3$に接するような$p$を求めよ．

(2)　$C$と$l$が相異なる$2$点のみを共有するような$p$の範囲を求め，さらにその共有点の$x$座標を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$p\text{，}$$q\text{，}$$r\text{，}$$s$を整数とする．このとき$p+q\sqrt{2}=r+s\sqrt{2}$が成り立つならば，$p=r$かつ$q=s$となることを示せ．ここで$\sqrt{2}$が無理数であることは使ってよい．

(2)　自然数$n$に対し，${(3+2\sqrt{2})}^n=a_n+b_n\sqrt{2}$を満たす整数$a_n\text{，}$$b_n$が存在することを数学的帰納法により示せ．

(3)　$a_n\text{，}$$b_n$を(2)のものとする．このときすべての自然数$n$について$(x,y)=(a_n,b_n)$は方程式$x^2-2y^2=1$の解であることを数学的帰納法により示せ．

【３】　平面上の点$\mathrm{A}$$(-3,-1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,-2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(3,1)\text{，}$$\mathrm{D}$$(0,5)$を考える．また$\mathrm{E}$を線分$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさおよび$\cos \mathrm{\angle BAC}$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を満たす定数$\alpha \text{，}$$\beta$を求めよ．また比$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}$を求めよ．

(3)　$\mathrm{▵ABE}$と$\mathrm{▵CDE}$の面積の和を$S_1\text{，}$$\mathrm{▵BCE}$と$\mathrm{▵DAE}$の面積の和を$S_2$とするとき，比$S_1:S_2$を求めよ．

【４】　$0<m<1$とする．$f(x)=x^2\text{，}$$g(x)=mx$とおく．この$f(x)$と$g(x)$を$0\leqq x\leqq 1$の範囲で考える．

(1)　放物線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$および直線$x=1$で囲まれるふたつの図形の面積の和を$S(m)$とする．$S(m)$を最小にする$m$とそのときの値を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq 1$の範囲での$|f(x)-g(x)|$の最大値を$h(m)$とする．$h(m)$を最小にする$m$とそのときの値を求めよ．

【４‐１】　$y=\sin 2x-x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のグラフの$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に対応する部分を$C$とする．また点$({\displaystyle \frac{\pi }{2}},0)$におけるグラフの接線を$l$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で曲線$C$が$l$の上側になる部分はないことを示せ．

(3)　曲線$C\text{，}$直線$l$および$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

【３】　$y=\sin 2x+\cos x$のグラフの$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に対応する部分を$C$とする．また点$({\displaystyle \frac{\pi }{2}},0)$におけるグラフの接線を$l$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で曲線$C$が$l$の上側になる部分はないことを示せ．

(3)　曲線$C\text{，}$直線$l$および$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

【４】　$x$の微分可能な関数を成分とする行列$M=\left(\begin{array}{cc}{m}_{11}& m_{12}\\ m_{21}& m_{22}\end{array}\right)$に対し，$M$の各成分を$x$で微分した行列$\left(\begin{array}{cc}{m_{11}}^{\prime }& {m_{12}}^{\prime }\\ {m_{21}}^{\prime }& {m_{22}}^{\prime }\end{array}\right)$を$M^{\prime }$と表す．

　$a_{11}\text{，}$$a_{12}\text{，}$$a_{21}\text{，}$$a_{22}$および$b_{11}\text{，}$$b_{12}\text{，}$$b_{21}\text{，}$$b_{22}$を$x$の微分可能な関数とし，

$A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)\text{，}$$B=\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right)$

とおく．

(1)　等式${(AB)}^{\prime }=A^{\prime }B+A{B}^{\prime }$が成り立つが，これを$(1,2)$成分について確かめよ．

(2)　$A$はすべての$x$について逆行列$A^{-1}$を持つとする．このとき(1)の等式を用いて，$A^{\prime }{A}^{-1}+A{(A^{-1})}^{\prime }$を求めよ．

(3)　$A$はすべての$x$について逆行列を持つとする．${(A^{-1})}^{\prime }$を$A^{-1}\text{，}$$A^{\prime }$を用いて表せ．

【１】　$a\text{，}$$p$を実数とし$a$は$\left|a\right|\leqq 1$を満たすものとする．

$f(x)=\{\begin{array}{ll}-x^2+3& \text{（}x\leqq a\text{）}\\ -a^2+3& \text{（}x>a\text{）}\end{array}$

とし，$C$を$y=f(x)$で定まるグラフとする．また$l$を$y=px+p+2$で定まる直線とする．

(1)　直線$l$は$p$によらず，定点を通ることを示せ．また$l$が放物線$y=-x^2+3$に接するような$p$を求めよ．

(2)　$C$と$l$が相異なる$2$点のみを共有するような$p$の範囲を求め，さらにその共有点の$x$座標を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$は，$\mathrm{OA}=\sqrt{5}\text{，}$$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=5\text{，}$$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\sqrt{30}\text{，}$$\mathrm{BC}=5\sqrt{2}$を満たすものとする．辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{DE}$に引いた垂線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として，次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{OF}$の長さと線分$\mathrm{AF}$の長さおよび$\cos \mathrm{\angle OFA}$の値を求めよ．

【３】　$k$は正の定数とし，$f(x)=e^{k\sin x}\cos x$とする．曲線$C$を，$y=f(x)$のグラフの$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に対応する部分とする．

(1)　$t$の関数$g(t)$は，$f^{\prime }(x)=e^{k\sin x}g(\sin x)$を満たすものとする．このとき$g(t)$を求め，さらに$-1\leqq t\leqq 1$の範囲における$g(t)=0$の解を求めよ．

(2)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において$f(x)$が最大となるときの${f(x)}^2$の値を求めよ．

(3)　曲線$C$と$x$軸に囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　$X$を$2$次の正方行列として以下の問いに答えよ．

(1)　$p\text{，}$$q$を実数とし$q\ne 0$とする．$\left(\begin{array}{cc}p& q\\ 0& p\end{array}\right)X=X\left(\begin{array}{cc}p& q\\ 0& p\end{array}\right)$ならば，$X$は$X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right)$の形で表せることを示せ．

(2)　$X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right)$のとき，自然数$n$に対し$X^n=\left(\begin{array}{cc}{a}^n& n{a}^{n-1}b\\ 0& a^n\end{array}\right)$となることを数学的帰納法により示せ．ただし$a^0=1$とする．

(3)　$m\text{，}$$n$を自然数とする．$X$の各成分は$0$以上の整数で，さらに$X^{n+1}-X^n=\left(\begin{array}{cc}{2}^{m+1}& 2^{50}\\ 0& 2^{m+1}\end{array}\right)$を満たすものとする．このような行列$X$が存在するような組$(m,n)$をすべて求めよ．