2010　三重大学　後期MathJax

【１】　連立不等式$x+2y-8\leqq 0\text{，}$$2x-y+4\geqq 0\text{，}$$3x-4y+6\leqq 0$を満たす座標平面上の点$(x,y)$全体からなる領域を$D$とする．

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　領域$D$における$x+y$の最大値と最小値，およびそのときの$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

(3)　領域$D$における$x^2+y$の最大値と最小値，およびそのときの$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

【２】　$n$人が$1$列に並ぶものとし，並び方は同様に確からしいとする．この$n$人の中に$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$のふたりが含まれるものとして，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$のふたりが隣り合う並び方の総数を求めよ．

(2)　$n=5$とし，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$の$5$人の並び方で$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の間にちょうど$2$人が入るものの総数を求めよ．

(3)　$n$が一般の場合，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の間にちょうど$r$人が入る確率$p_r$を求めよ．ただし$0\leqq r\leqq n-2$とする．

d(4)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の間に入る人数の期待値${\displaystyle \sum _{r=0}^{n-2}}r{p}_r$を求めよ．

【３】　$a\text{，}$$b\text{，}$$p$を実数の定数とし，$f(x)=x^3+a{x}^2+bx-p^2+4$とする．$f(x)$は$x-1$で割り切れるものとし，導関数$f^{\prime }(x)$は$x-1$で割ると$p^2-2p-3$余るものとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b$を$p$を用いて表せ．また$3$次方程式$f(x)=0$の$3$解を求めよ．

(2)　方程式$f(x)=0$の$3$解を適切に並べると等比数列になるのは，実数$p$がどのような値のときか調べよ．

【４】　$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{1}{1+s^2}}\mathit{ds}$

と定める．以下の問いに答えよ．

(1)　$s=\tan t$とおくとき，$s=1$となる$t$の値を求めよ，ただし$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．また${\displaystyle \frac{ds}{\mathit{dt}}}$を$s$の式に表し，$f(1)$を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x}{1+x^2}}\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}f(x)={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$に注意して${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx}$を計算せよ．