2010　滋賀医科大学　前期MathJax

【１】(1)　$y=|x^2-1|$のグラフを描け．

(2)　$a\text{，}$$b$を実数とする．$x$についての方程式

$|x^2-1|-ax-b=0$

が異なる$4$つの実数解を持つような点$(a,b)$の範囲を図示せよ．

(3)　(2)の方程式の解を$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma \text{，}$$\delta$とするとき，$\delta -\gamma =\gamma -\beta =\beta -\alpha$が成り立つときの$a\text{，}$$b$を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$とする．

(1)　三角形$\mathrm{OAB}\text{，}$$\mathrm{OAC}\text{，}$$\mathrm{OBC}\text{，}$$\mathrm{ABC}$はすべて直角三角形であることを示せ．

(2)　$\mathrm{OC}$の中点$\mathrm{M}$から平面$\mathrm{ABC}$に下した垂線の足を$\mathrm{N}$とする．

$\overrightarrow{\mathrm{CN}}=s\overrightarrow{\mathrm{CA}}+t\overrightarrow{\mathrm{CB}}$

と表すときの$s\text{，}$$t$を，長さ$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}$で表せ．

【３】(1)　$a$を実数の定数，$f(x)$をすべての点で微分可能な関数とする．このとき次の等式を示せ．

$f^{\prime }(x)+of(x)=e^{-ax}{(e^{ax}f(x))}^{\prime }$

ただし，$\prime$は$x$についての微分を表す．

(2)　(1)の等式を利用して，次の式を満たす関数$f(x)$で，$f(0)=0$となるものを求めよ．

$f^{\prime }(x)+2f(x)=\cos x$

(3)　(2)で求めた関数$f(x)$に対して，数列$\{|f(n\pi )|\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$の極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }|f(n\pi )|$

を求めよ．

【４】　$2$回微分可能な関数$f(x)\text{，}$すなわち$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$及び$f^{\prime }(x)$の導関数$f^{″}(x)$が存在する関数が，すべての実数$x$について

$f^{\prime }(x)>f^{″}(x)$

を満たしている．また，$a<b$とする．

(1)　${\displaystyle \frac{f^{\prime }(a)}{e^a}}>{\displaystyle \frac{f^{\prime }(b)}{e^b}}$を示せ．

(2)　${\displaystyle \frac{f^{\prime }(a)}{e^a}}>{\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{e^b-e^a}}>{\displaystyle \frac{f^{\prime }(b)}{e^b}}$を示せ．

(3)　すべての実数$x$について$f(x)>0$であるとき，すべての実数$x$について

$f(x)>f^{\prime }(x)>0$

が成立することを示せ．

【５】　$n$を$2$以上の自然数として，階乗$n!$を素数の積で表すときに現れる$2$の個数を$a_n$とおく．すなわち${\displaystyle \frac{n!}{2^{a_n}}}$は奇数である．

(1)　${\displaystyle \frac{(2n)!}{2^{n}n!}}$は奇数であることを示せ．

(2)　$a_{2n}-a_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　$n=2^k$（$n$は自然数）のとき，$a_n$を$n$を用いて表せ．

(4)　$a_n<n$を示せ．

(5)　$\sqrt[n]{n!}$は無理数であることを示せ．