2010　山口大学　前期MathJax

【１】　$\mathrm{▵OAB}$において，$\mathrm{OA}=5\text{，}$$\mathrm{OB}=3\text{，}$$\mathrm{AB}=6$とし，$\mathrm{\angle AOB}$の大きさを$\theta$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\cos \theta$の値を求めなさい．

(2)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めなさい．

(3)　$x$が実数全体を動くとき，$|(2+x)\overrightarrow{a}+(1-x)\overrightarrow{b}|$の最小値を求めなさい．また，そのときの$x$の値も求めなさい．

【２】　$f(x)$$={\cos }^{3}x$$+{\sin }^{3}x$$+\cos x\sin x$$-\cos x-\sin x$とし，$t=\cos x+\sin x$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$x$が実数全体を動くとき，$t$の最大値と最小値を求めなさい．また，そのときの$x$の値も求めなさい．

(2)　$\cos x\sin x$を$t$の整式として表しなさい．

(3)　$f(x)$を$t$の整式として表しなさい．

(4)　$x$が実数全体を動くとき，$f(x)$の最大値と最小値を求めなさい．ただし，そのときの$x$の値を求める必要はありません．

【３】　$n$を自然数とするとき，

$2{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(-1)}^{k+1}k(k-1)$$={(-1)}^{n+1}{n}^2+{\displaystyle \frac{{(-1)}^n-1}{2}}$

が成り立つことを示しなさい．

【４】　$2$人の生徒$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が先生$1$人を交えて次のようなゲームを行う．

ゲーム：$1$から$5$までの番号が$1$枚に$1$つずつ書かれた$5$枚のカードの中から先生が生徒に$2$枚ずつカードを配る．残った$1$枚は先生が持つ．各生徒の勝敗は配られた$2$枚のカードの番号と先生が持つカードの番号の大小で決まる．$2$枚とも大きければ生徒の勝ち，$1$枚が大きく$1$枚が小さければ引き分け，$2$枚とも小さければその生徒の負けとなる．

　例えば，$\mathrm{A}$に$3$と$4$のカードが配られ，$\mathrm{B}$に$1$と$5$のカードが配られたとき，先生のカードは$2$なので，$\mathrm{A}$は勝ち，$\mathrm{B}$は引き分けとなる．

　このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　生徒$2$人がともに勝つ確率を求めなさい．

(2)　生徒$2$人がともに引き分けとなる確率を求めなさい．

(3)　生徒$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい．

【１】　$t$を実数とし，$f(x)=x^2+2tx+1$とおく．$0\leqq x\leqq 1$における関数$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ$g(t)\text{，}$$h(t)$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$g(t)\text{，}$$h(t)$をそれぞれ$t$の関数として表しなさい．

(2)　${\displaystyle {\int }_{-2}^2}\{g(t)-h(t)\}\mathit{dt}$の値を求めなさい．

【２】　$x$についての方程式$2x^3-(3a+1)x^2+2ax+b=0$が異なる$2$つの実数解をもつときの定数$a\text{，}$$b$の条件を求めなさい．

【３】　$\mathrm{A}\text{，}$${\mathrm{A}}^{\prime }$をそれぞれ座標平面上の点$(\alpha \cos \theta ,\alpha \sin \theta )\text{，}$$(-\alpha \cos \theta ,-\alpha \sin \theta )$とし，$f$を行列

$\left(\begin{array}{cc}r\cos \theta & -r\sin \theta \\ r\sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right)$

の表す$1$次変換とする．$\alpha ={\left({\displaystyle \frac{45}{4}}\right)}^{\frac{1}{6}}\text{，}$$r={\left({\displaystyle \frac{10}{3}}\right)}^{\frac{1}{6}}\text{，}$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}$${\mathrm{A}}^{\prime }$の逆変換$f^{-1}$による像を焦点とし，焦点からの距離の差が$2$に等しい双曲線$C_1$の方程式を求めなさい．

(2)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}$${\mathrm{A}}^{\prime }$の合成変換$f\circ f$による像を焦点とし，直線$x+2y=0$を漸近線にもつ双曲線$C_2$の方程式を求めなさい．

(3)　双曲線$C_1$と$C_2$により囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めなさい．

【４】　$2$人の生徒$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が先生$1$人を交えて次のようなゲームを行う．

ゲーム：$1$から$5$までの番号が$1$枚に$1$つずつ書かれた$5$枚のカードの中から先生が生徒に$2$枚ずつカードを配る．残った$1$枚は先生が持つ．各生徒の勝敗は配られた$2$枚のカードの番号と先生が持つカードの番号の大小で決まる．$2$枚とも大きければ生徒の勝ち，$1$枚が大きく$1$枚が小さければ引き分け，$2$枚とも小さければその生徒の負けとなる．

　例えば，$\mathrm{A}$に$3$と$4$のカードが配られ，$\mathrm{B}$に$1$と$5$のカードが配られたとき，先生のカードは$2$なので，$\mathrm{A}$は勝ち，$\mathrm{B}$は引き分けとなる．

　このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　生徒$2$人がともに勝つ確率を求めなさい．

(2)　生徒$2$人がともに引き分けとなる確率を求めなさい．

(3)　生徒$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい．

(4)　生徒$2$人のうち，少なくとも$1$人が勝つ確率を求めなさい．

(5)　生徒$2$人のうち，少なくとも$1$人が引き分けとなる確率を求めなさい．

【１】　$3$辺が$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{BC}=6\text{，}$$\mathrm{CA}=5$である$\mathrm{▵ABC}$の外心を$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{\angle A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$の外接円の半径を求めなさい．

(2)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$を求めなさい．

(3)　$\mathrm{OB}\perp \mathrm{AD}$を示しなさい．

【２】　次の初項と漸化式で定まる数列$\{a_n\}$を考える．

$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$a_{n+1}=e^{-a_n}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

ここで，$e$は自然対数の底で，$1<e<3$である．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　すべての自然数$n$について${\displaystyle \frac{1}{3}}<a_n<1$が成り立つことを示しなさい．

(2)　方程式$x=e^{-x}$はただ$1$つの実数解をもつことと，その解は${\displaystyle \frac{1}{3}}$と$1$の間にあることを示しなさい．

(3)　関数$f(x)=e^{-x}$に平均値の定理を用いることによって，次の不等式が成り立つことを示しなさい．

　${\displaystyle \frac{1}{3}}$と$1$との間の任意の実数$x_1\text{，}$$x_2$について，

$|f(x_2)-f(x_1)|\leqq e^{-\frac{1}{3}}|x_2-x_1|$

(4)　数列$\{a_n\}$は，方程式$x=e^{-x}$の実数解に収束することを示しなさい．

【３】　$a\text{，}$$b$は$a<b$を満たす実数とする．放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}$$(a,a^2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(b,b^2)$においてそれぞれ接線を引く．この$2$つの接線の交点を$\mathrm{P}$$(p,q)$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$p\text{，}$$q$を$a\text{，}$$b$を用いて表しなさい．

(2)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が$\mathrm{\angle APB}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を満たしながらこの放物線上を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めなさい．

(3)　(2)の条件の下で，この放物線と$2$つの接線で囲まれた図形の面積を$q$を用いて表しなさい．

【４】　赤玉，白玉，青玉がそれぞれ$2$個以上入った袋がある．袋から同時に玉を$k$個取り出し，色を調べてからもとに戻す試行を$\mathrm{S}(k)$とする．試行$\mathrm{S}(1)$を続けて$2$回行うとき，赤玉が少なくとも$1$回出る確率が${\displaystyle \frac{5}{9}}\text{，}$異なる色の玉が出る確率が${\displaystyle \frac{2}{3}}$であるとする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　試行$\mathrm{S}(1)$を$1$回行うとき，赤玉の出る確率と白玉の出る確率を求めなさい．

(2)　試行$\mathrm{S}(2)$を続けて$2$回行う．$1$回目に取り出す玉の色と$2$回目に取り出す玉の色に重複がない確率が${\displaystyle \frac{1}{6}}$であるとき，赤玉，白玉，青玉それぞれの個数を求めなさい．