2010　山口大学　後期MathJax

【１】　$s\text{，}$$t$を$0$でない定数とする．座標平面上の$2$点$\mathrm{P}$$(3-s,1+2s)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(3-2t,1-t)$について，次の問いに答えなさい．

(1)　点$\mathrm{A}$$(3,1)$を点$\mathrm{P}$に移し，点$(2,1)$を点$(1,-2)$に移す$1$次変換$f$の表す行列を$s$を用いて表しなさい．

(2)　点$\mathrm{Q}$が$1$次変換$f$によって移される点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$は$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{P}$を通る直線上にあることを示しなさい．

(3)　原点を$\mathrm{O}$とする．$\mathrm{▵OAQ}$の面積を$t$を用いて表しなさい．

(4)　$\mathrm{▵OAQ}$と$\mathrm{▵OPR}$の面積の比を求めなさい．

【２】　$a$を正の定数とする．座標平面において，原点$\mathrm{O}$と点$(\sqrt{3},0)$を結ぶ線分$C_1$と曲線

$C_2\text{：}x=\sqrt{{\displaystyle \frac{9-y}{y^2+3}}}$$\text{（}0\leqq y\leqq 3\text{）}$

をつないだ曲線を$y$軸のまわりに回転して得られる曲面が作る容器$\mathrm{A}$がある．容器$\mathrm{A}$の底面は，線分$C_1$を回転した部分である．また，容器$\mathrm{A}$の高さは$3$である．底面を下にして容器$\mathrm{A}$を水平な台の上に設置し，毎秒$a$の割合で静かに水を注ぐ．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　容器$\mathrm{A}$の容積を求めなさい．

(2)　水深が$1$になった瞬間における水面の上昇する速さを求めなさい．

【３】　$a$を正の定数，$s\text{，}$$t$を実数，$k$を$k>1$を満たす実数とする．座標平面上の円$x^2+y^2=a^2$を$C\text{，}$点$\mathrm{P}$$(s,t)$と円$C$上の点$\mathrm{Q}$を結ぶ線分$\mathrm{PQ}$を$1:k$に外分する点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{P}=\mathrm{Q}$のときは，$\mathrm{R}=\mathrm{P}$と定める．点$\mathrm{Q}$が円$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡を$L$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$L$の方程式を求めなさい．

(2)　$C$と$L$がただ$1$つの共有点をもつとする．

(a)　$1<k<2$のとき，$L$上の点と原点$\mathrm{O}$との距離の最小値は$a$であることを示しなさい．

(b)　$L$と円$x^2+y^2={\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2$が共有点をもつとき，$k$のとりうる値の範囲を求めなさい．また，そのときの点$\mathrm{P}$の存在範囲を座標平面上に図示しなさい．

(3)　$C$と$L$がちょうど$2$つの共有点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$をもつとする．

(a)　$\mathrm{\angle AOB}$が$\theta$であるとき，$k$のとりうる値の最大値$M$を$\theta$を用いて表しなさい．ただし，$0<\theta <\pi$とする．

(b)　$\mathrm{\angle AOB}=\theta \text{，}$$k=M$のとき，$\mathrm{\angle APB}$を$\theta$を用いて表しなさい．