2010　鳴門教育大学　前期MathJax

【１】　実数$x\text{，}$$a$が$x>0$かつ$\sqrt{x}={\displaystyle \frac{1+3a}{3}}$を満たすとき，$\sqrt{3x-4a}$を$a$で表わせ．

【２】　一辺の長さが$1$の正六角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4{\mathrm{A}}_5{\mathrm{A}}_6$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4{\mathrm{A}}_5{\mathrm{A}}_6$の面積を求めよ．

(2)　各頂点${\mathrm{A}}_i$から辺上に反時計回りに$x$だけ進んだ点を${\mathrm{B}}_i$とする．ただし$0<x<1$とする．六角形${\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2{\mathrm{B}}_3{\mathrm{B}}_4{\mathrm{B}}_5{\mathrm{B}}_6$の面積を$x$を使って表わし，それが最小となる$x$およびそのときの面積を求めよ．

【３】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の記号がつけられた$3$つの袋に，赤玉$5$個，白玉$6$個すべてを入れる場合の数について考える．次の問いに答えよ．ただし，同じ色の玉は区別しないものとする．

(1)　空になる袋があってもよいとすると，全部で何通りの入れ方があるか．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$それぞれの袋に，赤玉$1$個と白玉$1$個は少なくとも入っているようにする入れ方は何通りあるか．

(3)　空の袋がないようにする入れ方は何通りあるか．

【４】　$\mathrm{▵ABC}$において，辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$の中点をそれぞれ，$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とする．頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$またはその延長上に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とする．次を証明せよ．

(1)　$\mathrm{\angle LHN}=\mathrm{\angle A}$

(2)　$4$点$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}\text{，}$$\mathrm{H}$は同一円周上にある．