2010　熊本大学　前期MathJax

【１】　関数$y={\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$について，以下の問いに答えよ．

(問１)　$\sin x-\cos x=t$とおいて，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．

(問２)　$y$を$t$の式で表せ．

(問３)　$y$の最大値および最小値を求めよ．

【２】　曲線$C_1\text{：}y=x^2$上の点$\mathrm{A}$$(a,a^2)$における接線が曲線$C_2\text{：}y=x^2-4$と交わる点を$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とする．ただし，$\mathrm{B}$の$x$座標は$\mathrm{C}$の$x$座標より小さいとする．以下の問いに答えよ．

(問１)　線分$\mathrm{BC}$の中点$\mathrm{M}$および$\mathrm{C}$の座標を$a$を用いて表せ．

(問２)　$\mathrm{M}$を通り$y$軸に平行な直線，線分$\mathrm{MC}$および曲線$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　赤球，白球，黒球，黄球，青球が各$1$個ずつ入っている袋が$3$つある．各袋から球を$1$個ずつ取り出す．以下の問いに答えよ．

(問１)　取り出した球の色が$2$種類となる確率を求めよ．

(問２)　取り出した球の色の数の期待値を求めよ．

【４】　原点$\mathrm{O}$を中心として半径$1$の円の第$1$象限の部分$C$について考える．$C$上に$3$点$\mathrm{A}$$({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})\text{，}$$\mathrm{P}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(0,1)$をとる．$s+t=1$を満たす$s\text{，}$$t$$\text{（}0<s<1\text{，}$$0<t<1\text{）}$に対し，弧$\mathrm{AQ}$上に点$\mathrm{X}$を$2$つのベクトル

$s^2\overrightarrow{\mathrm{OA}}-s\overrightarrow{\mathrm{OX}}\text{，}$$t\overrightarrow{\mathrm{OA}}-t^2\overrightarrow{O}$

が垂直になるようにとる．以下の問いに答えよ．

(問１)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．

(問２)　$\cos \theta$のとり得る値の範囲を求めよ．

(問３)　$\mathrm{▵OAX}$の面積の最大値を求めよ．

【１】　関数$y=\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x+2\sin x-2\sqrt{3}\cos x$について，以下の問いに答えよ．

(問１)　$\sin x-\sqrt{3}\cos x=t$とおいて，$y$を$t$の式で表せ．

(問２)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$のとき，$y$の最大値および最小値を求めよ．

【２】　曲線$C\text{：}{x}^2+y^2=1$$\text{（}x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{）}$上に$3$点$\mathrm{A}$$({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})\text{，}$$\mathrm{P}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(0,1)$をとり，$\mathrm{\angle POR}=\theta$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$となる$C$上の点を$\mathrm{R}$$(s,t)$とする．さらに，$C$上の点$\mathrm{X}$を$2$つのベクトル$s\overrightarrow{\mathrm{OA}}-t\overrightarrow{\mathrm{OX}}$と$t\overrightarrow{\mathrm{OA}}-s\overrightarrow{\mathrm{OX}}$が垂直になるようにとる．このとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$の内積の値を$\theta$を用いて表せ．

(問２)　条件をみたす$\mathrm{X}$が弧$\mathrm{AP}$上にとれるとき，$\theta$の範囲を求めよ．

(問３)　(問２)で求めた$\theta$の範囲において，$\mathrm{▵ROX}$の面積の最大値を求めよ．

【３】　関数$f(x)=x{2}^{-x}$の区間$t\leqq x\leqq t+1$における最小値を$g(t)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$g(t)$を求めよ．

(問２)　${\displaystyle {\int }_0^2}g(t)\mathit{dt}$の値を求めよ．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_x^{\frac{\pi }{4}-x}}{\log }_4(1+\tan t)\mathit{dt}$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{8}})$について，以下の問いに答えよ．

(問１)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(問２)　$f\left({\displaystyle \frac{\pi }{8}}\right)$および$f(0)$の値を求めよ．

(問３)　条件$a_1=f(0)\text{，}$$a_{n+1}=f(a_n)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

【１】　原点を$\mathrm{O}$とし，空間内に$3$点$\mathrm{A}$$(4,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,2,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(2,1,2)$をとる．線分$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$$\text{（}0<t<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{P}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$\mathrm{▵OAP}$の面積を最小にする$t$の値を求めよ．

(問２)　$\mathrm{C}$を通り，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{P}$を通る平面に垂直な直線と$xy$平面との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{D}$が$\mathrm{▵OAB}$の内部にあるとき，$t$の範囲を求めよ．

【２】　赤球$4$個と白球$6$個の入った袋から$2$個の球を同時に取り出し，その中に赤球が含まれていたら，その個数だけさらに袋から球を取り出す．このとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　取り出した赤球の総数が$2$である確率を求めよ．

(問２)　取り出した赤球の総数が，取り出した白球の総数をこえる確率を求めよ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_x^{\frac{\pi }{4}-x}}{\log }_4(1+\tan t)\mathit{dt}$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{8}})$について，以下の問いに答えよ．

(問１)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(問２)　$f(0)$の値を求めよ．

(問３)　条件$a_1=f(0)\text{，}$$a_{n+1}=f(a_n)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(問１)　 $p$を$0$でない定数とする．関数$f(x)=a{e}^{-x}\sin px+b{e}^{-x}\cos px$について，$f^{\prime }(x)=e^{-x}\sin px$となるように，定数$a\text{，}$$b$を定めよ．

(問２)　$S(t)={\displaystyle {\int }_0^{t^2}}{e}^{-x}\sin {\displaystyle \frac{x}{t}}\mathit{dx}$$\text{（}t\ne 0\text{）}$とおく．このとき，$S(t)$を求めよ．

(問３)　$\underset{t\to 0}{\mathrm{iim}}{\displaystyle \frac{S(t)}{t^2}}$の値を求めよ．