2010　熊本大学　後期理学部MathJax

【１】　$x\text{，}$$y$を実数とし，行列$X=\left(\begin{array}{cc}x& -y\\ y& x\end{array}\right)$考える．また，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}$$O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$a\text{，}$$b$を実数とするとき，次の等式

$X^2+aX+bE=O$

を満たす行列$X$を求めよ．

(問２)　等式$X^3=E$を満たす行列$X$をすべて求めよ．

【２】　$a$を$-1<a<1$を満たす実数とする．$xy$平面上の原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{A}$の座標を$(1,0)$とする．円$C\text{：}{x}^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}$を，その$y$座標が正で，かつ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=a$を満たすものとする．

(問１)　三角形$\mathrm{OAP}$の面積を求めよ．

(問２)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{P}$から等距離にある$C$上の点は$2$つある．この$2$点の座標を求めよ．

(問３)　点$\mathrm{A}\text{，}$点$\mathrm{P}$および(問２)で求めた$2$点を頂点とする四角形の面積を$S$とする．$S$が三角形$\mathrm{OAP}$の面積の$3$倍となるような$a$の値を求めよ．

【３】　$0$以上の整数$n$に対して，$x\geqq 0$で定義された関数$I_n(x)$を

$I_n(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{t}^n{e}^{-t}\mathit{dt}$

とおく．このとき以下の問いに答えよ．

(問１)　$n\geqq 1$のとき，$I_n(x)$を$I_{n-1}(x)$を用いて表せ．

(問２)　$n\geqq 1$のとき，等式

$I_0(x)-{\displaystyle \frac{I_n(x)}{n!}}={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{x^k}{k!}}{e}^{-x}$

が成り立つことを示せ．

(問３)　$0\leqq x\leqq 1$のとき

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{I_n(x)}{n!}}=0$

が成り立つことを示せ．

(問４)　$0\leqq x\leqq 1$のとき

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{x^k}{k!}}=e^x$

が成り立つことを示せ．