2010　公立はこだて未来大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

問１　$a>0\text{，}b>0$に対して，次の命題が成り立つことを証明せよ．

$a^2+b^2>0$ならば$a-b>0$である．

問２　実数$x\text{，}y$が$xy>0$をみたすとき，不等式$|x+y|>|x-y|$を証明せよ．

【２】　$a$を定数とするとき，関数$f(x)=2^{2x}-(4-a)2^{x+1}+16a$について，以下の問いに答えよ．

問１　$a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$f(x)=0$をみたす$x$を求めよ．

問２　$a>-4$のとき，$f(x)$の最小値を$a$で表せ．

【３】　$3$次関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-{\displaystyle \frac{a}{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{a^3}{12}}$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a>0$とする．

問１　$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

問２　$f$の導関数$y=f^{\prime }(x)$のグラフの接線で，$x$軸に平行なものを求めよ．

問３　問２で求めた接線と$y=f(x)$のグラフが，共有点をちょうど$3$個もつような$a$の値の範囲を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

問１　三角関数の加法定理を用いて，次の等式を証明せよ．

$\sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}\sin {\displaystyle \frac{\alpha -\beta }{2}}$

問２　次の不等式を証明せよ．

$|\sin \alpha -\sin \beta |\leqq |\alpha -\beta |$

　必要ならば，実数$\theta$に対して成り立つ不等式$|\sin \theta |\leqq \left|\theta \right|$を用いてよい．

問３　数列$\{a_n\}$を，次の条件によって定める．

$a_1={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\sin a_n+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の不等式を証明せよ．

$|a_{n+2}-a_{n+1}|\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}|a_{n+1}-a_n|\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

問４　問３の数列$\{a_n\}$に対して，次の不等式を証明せよ．

$|a_{n+1}-a_n|\leqq {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

【２】　座標平面上の直線$y=x$を$l$とし，$2$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(2,0)$を考える．直線$l$上を動く点を$\mathrm{P}(p,p)$とする．また，$\overline{\mathrm{PQ}}$は点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の間の距離を表すとする．このとき，以下の問いに答えよ．

問１　直線$l$上のすべての点$\mathrm{P}$に対して，$\overline{\mathrm{PA}}=\overline{\mathrm{PC}}$となるような$y$軸上の動かない点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

問２　$\overline{\mathrm{PA}}+\overline{\mathrm{PB}}$が最小となるような点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

問３　$a$は実数とする．直線$l$上のすべての点$\mathrm{P}$に対して，

$a\cdot {\overline{\mathrm{PA}}}^2+(1-a)\cdot {\overline{\mathrm{PB}}}^2>0$

となるような$a$の値の範囲を求めよ．

【１】　座標平面上の曲線$y=e^x-1$を$C$とする．曲線$C$と$2$直線$y=0\text{，}x=t$で囲まれる部分の面積を$S_1$とし，曲線$C$と$2$直線$y=2\text{，}x=t$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．ただし，$0<t<\log 3$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

問１　$S_1=S_2$となるときの$t$の値を求めよ．

問２　$S_1+S_2$が最小となるときの$t$の値を求めよ．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ a& 0\end{array}\right)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a>0$とする．

問１　$A$の逆行列を求めよ．

問２　$A$の表す$1$次変換によって，双曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x-1}}$上のある点が，点$(-1,1)$に移されるとする．このとき，$a$の値を求めよ．