2010　公立はこだて未来大学　推薦MathJax

【１】　座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円と，点$\mathrm{C}({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},0)$を中心とする半径${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$の円を考える．右図のように，それぞれの円と$x$軸の正の部分との交点を${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2$とし，動径$\mathrm{OQ}$との原点以外の交点を${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$とする．また，$\mathrm{OQ}$と$x$軸の正の部分がなす角$\theta$は，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$をみたすとする．このとき，以下の問に答えよ．

問１　線分$\mathrm{C}{\mathrm{A}}_1$と線分$\mathrm{C}{\mathrm{P}}_2$のなす角$\alpha$を，$\theta$を用いて表せ．

問２　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$とする．$2$つの線分${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$と$2$つの弧${\mathrm{A}}_1{\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2{\mathrm{P}}_2$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

【２】　$3$個のさいころを同時に投げたとき，以下の問いに答えよ．

問１　出た目の和が$5$以下になる確率を求めよ．

問２　出た目$3$つのうち$2$つだけが等しくなる確率を求めよ．

【３】　$f_0(x)=x^2+3x$とする．このとき

$f_{n+1}(x)=f_n(2x)-f_n(x)\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

で定まる関数$f_1(x)\text{，}{f}_2(x)\text{，}{f}_3(x)\text{，}\cdots$について，以下の問いに答えよ．

問１　$f_1(x)$と$f_2(x)$を求めよ．

問２　$f_n(x)$を求めよ．

問３　曲線$y=f_n(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．また，${\displaystyle \frac{S_n}{S_1}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{3^{10}}}$となる$n$の最小値を求めよ．

【４】　座標平面上の直線$y={\displaystyle \frac{3}{4}}x-3$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}\text{，}y$軸との交点を$\mathrm{B}$とする．原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}\text{，}$点$\mathrm{B}$の$3$点を通る円$C$について，以下の問いに答えよ．

問１　円$C$の方程式を求めよ．

問２　$f(x)$を$2$次関数とする．曲線$y=f(x)$が，点$\mathrm{A}$において円$C$と接線を共有し，かつ，原点$\mathrm{O}$を通るとき，$f(x)$を求めよ．