2010　公立はこだて未来大学　AOMathJax

【１】　$3$次方程式$x^3+(p+1)x^2+2px+p=0$が，$1$つの実数解と$2$つの虚数解をもつとする．このとき，定数$p$の値の範囲を求めよ．

【２】　$n$を自然数とし，$\left|x\right|+\left|y\right|=n$をみたす座標平面上の点$(x,y)$のうち，$x$および$y$が整数である点の集合を$D_n$とする．また，集合$D_n$の要素の個数を$S(n)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

問１　$D_1$に属するすべての点を，座標平面上に図示せよ．

問２　$D_2$に属するすべての点を，座標平面上に図示せよ．

問３　$S(n)$を求めよ．

【３】　赤玉が$2$個と白玉が$8$個入っている箱から，$2$個の玉を同時に取り出す．取り出した玉が$2$個とも赤なら$800$円の賞金，$2$個とも白なら$100$円の賞金がそれぞれもらえ，赤白$1$個ずつなら賞金はもらえないとする．このとき，以下の問いに答えよ．

問１　取り出した玉が$2$個とも赤である確率を求めよ．

問２　賞金がもらえない確率を求めよ．

問３　賞金の期待値を求めよ．

【４】　空間の$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，以下の問いに答えよ．

問１　線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

問２　線分$\mathrm{CM}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{N}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$t\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

問３　$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$のなす角が$60\mathrm{°}$となるように，$t$の値を定めよ．