2010　新見公立大学　前期MathJax

【１】　(1)から(4)の$\boxed{}$内に適切な答えを入れよ．

(1)　$P=|x+2|+|x-3|$とする．

$x<-2$のとき，$P=-\boxed{\text{ア}}x+\boxed{\text{イ}}$

$-2\leqq x<3$のとき，$P=\boxed{\text{ウ}}$

$3\leqq x$のとき，$P=\boxed{\text{エ}}x-\boxed{\text{オ}}$

であるから，$x$についての方程式$P=x+4$の解は，$x=\boxed{\text{カ}}\text{，}$$\boxed{\text{キ}}$である．(ただし，$\boxed{\text{カ}}<\boxed{\text{キ}}$とする．)

【１】　(1)から(4)の$\boxed{}$内に適切な答えを入れよ．

(2)　$x+y=1\text{，}$$x^3+y^3=7$であるとき，$xy=-\boxed{\text{ク}}\text{，}$$x^2+y^2=\boxed{\text{ケ}}\text{，}$$x^5+y^5=\boxed{\text{コサ}}$である．

【１】　(1)から(4)の$\boxed{}$内に適切な答えを入れよ．

(3)　${(px+qy)}^6$$\text{（}p>0\text{，}$$q>0\text{）}$の展開式における係数を考える．

(ⅰ)　$p=4\text{，}$$q=1$のとき，$x{y}^5$の係数は$\boxed{\text{シス}}$である．

(ⅱ)　$x^3{y}^3$の係数が$4320\text{，}$$x^{5}y$の係数が$576$であるとき，$p=\boxed{\text{セ}}\text{，}$$q=\boxed{\text{ソ}}$である．

【１】　(1)から(4)の$\boxed{}$内に適切な答えを入れよ．

(4)　$p\text{，}$$q\text{，}$$r\text{，}$$s$を正の整数とする．

(ⅰ)　$p+q=12$をみたす$p\text{，}$$q$の組は$\boxed{\text{タチ}}$組あり，$pq=12$をみたす$p\text{，}$$q$の組は$\boxed{\text{ツ}}$組ある．

(ⅱ)　$p+q+r+s=12$をみたす$p\text{，}$$q\text{，}$$r\text{，}$$s$の組は$\boxed{\text{テトナ}}$組あり，$pqrs=12$をみたす$p\text{，}$$q\text{，}$$r\text{，}$$s$の組は$\boxed{\text{ニヌ}}$組ある．

【２】　$p$を実数の定数とするとき，$2$つの$x$の$2$次関数

$f(x)=x^2-2(p-1)x+2p^2-5p$

$g(x)=-x^2+2px-p^2+1$

がある．このとき，各$\boxed{}$内に適切な答えを入れよ．

(1)　$2$つの放物線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$がともに$x$軸と異なる$2$点で交わるときの$p$の値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}-\sqrt{\boxed{\text{イウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}<p<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}+\sqrt{\boxed{\text{カキ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}$

である．

(2)　すべての実数$x$に対して$g(x)<f(x)$であるときの$p$の値の範囲は

$p<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}-\sqrt{\boxed{\text{コサ}}}}{\boxed{\text{シ}}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}+\sqrt{\boxed{\text{セソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}<p$

である．

(3)　適当な定数$k$をとれば，すべての実数$x$に対して$g(x)<k<f(x)$が成り立つという．このときの$p$の値の範囲は

$p<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}-\sqrt{\boxed{\text{ツテ}}}}{\boxed{\text{ト}}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}+\sqrt{\boxed{\text{ニヌ}}}}{\boxed{\text{ネ}}}}<p$

である．

【３】　右の図のような$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{BC}=5\text{，}$$\mathrm{CA}=3$である三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$重心を$\mathrm{G}\text{，}$内心を$\mathrm{I}\text{，}$$\mathrm{\angle A}$内の傍心を$\mathrm{P}$とする．ただし，$\mathrm{\angle A}$内の傍心$\mathrm{P}$とは，$\mathrm{\angle A}$の内角と他の$2$つの外角の$2$等分線の交点であり，傍心$\mathrm{P}$は三直線$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$にそれぞれ$3$点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$で接する円の中心である．このとき，各$\boxed{}$内に適切な答えを入れよ．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径を$r_1$とすると，$\mathrm{\angle A}=\boxed{\text{アイ}}\mathrm{°}$であるから，$r_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\text{，}$$\mathrm{AG}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r_2$とすると，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$S=\boxed{\text{キ}}$であるから，$r_2=\boxed{\text{ク}}\text{，}$$\mathrm{AI}=\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}$である．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の$\mathrm{\angle A}$内の傍接円の半径を$r_3$とすると，$r_3=\boxed{\text{コ}}$であるから，$\mathrm{AP}=\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$である．ただし，$\mathrm{\angle A}$内の傍接円とは，傍心$\mathrm{P}$を中心として，$3$直線$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$に接する円である．