2010　尾道市立大学　後期MathJax

【１】　$2$次関数$C\text{：}y=x^2-18x-a$について次の問いに答えよ．ただし$a>0$とする．

(1)　$2$次関数$C$のグラフを原点に関して対称移動してできる$2$次関数$C_1$の式を求めよ．またこの$2$次関数$C_1$と$x$軸の交点の座標を$\alpha \text{，}$$\beta$としたとき$\alpha$と$\beta$を$a$を用いて表わせ．ただし$\alpha <\beta$とする．

(2)　$2$次関数$C$の頂点の$x$座標が$\alpha$より大きく$\beta$より小さいとき，$a$の満たす範囲を求めよ．

(3)　$a$が(2)で求めた範囲内にあり，$2$次関数$C$の$\alpha \leqq x\leqq \beta$における最大値が$1044$であるとき，$a$の値を求めよ．

【２】　$\mathrm{▵ABC}$において$\mathrm{AB}=6\text{，}$$\mathrm{BC}=10$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　角$B$が方程式$2{\sin }^{2}B-7\cos B-5=0$を満たすとき，角$B$の値を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

(3)　$\tan (B+C)$の値を求めよ．

(4)　頂点$\mathrm{B}$から$\mathrm{AC}$に下ろした垂線と$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，線分$\mathrm{BH}$の長さを求めよ．

【３】　座標平面上の円$C$は$x$軸と直線$y=\sqrt{3}x$の両方に接し，点$(1+\sqrt{3},1)$を通るとする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　円$C$の中心の座標を$(a,b)$とするとき，$b$を$a$を用いて表わせ．

(2)　$a$と$b$の値および円$C$の半径を求めよ．

(3)　(2)で求めた円$C$のうちで半径の小さい方の円を$C_1$とする．直線$y=-\sqrt{3}x+4$上に中心を持つ半径$2$の円$C_2$が円$C_1$と異なる$2$つの共有点を持ち，この$2$つの共有点を結ぶ直線が原点を通るとする．このとき円$C_2$の中心の座標を求めよ．