2011 大学入試センター試験 本試験 数学I/数学IAMathJax

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2011 大学入試センター試験 本試

数学I・数学IA共通

配点10点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[1]  a=3+ 22 b =2+3 とすると

1a = -

1b= -

a b- b a= -

である.このとき,不等式

|2 ab x-a2 |< b2

を満たす x の値の範囲は

- <x < -

となる.

2011 大学入試センター試験 本試

数学I

配点15点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2]  n を自然数とし

A=n4 -2 n3 +3 n2- 2n+ 2

とおく.

n4+ 3n 2+2 =(n2 + ) (n 2+ )

であるから

A=( n2+ ) (n2 - n+ )

となる.ただし, の解答の順序は問わない.

 さらに

n2- n+ =( n- ) 2+

である.

 したがって, A<1000 を満たす最大の n であり,このときの A の素因数分解は

A= × ハヒ × フヘ

となる.ただし, ハヒ フヘ の解答の順序は問わない.

2011 大学入試センター試験 本試

数学I・数学IA共通

配点25点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】  a b c を定数とし, a0 b0 とする. x 2 次関数

y=a x2+ bx+ c

のグラフを G とする. G y= -3 x2+ 12b x のグラフと同じ軸をもつとき

a= アイ

となる.さらに, G が点 (1, 2b- 1) を通るとき

c=b-

が成り立つ.

 以下, のとき, 2 次関数 とそのグラフ G を考える.

(1)  G x 軸が異なる 2 点で交わるような b の値の範囲は

b< カキ <b

である.さらに, G x 軸の正の部分が異なる 2 点で交わるような b の値の範囲は

< b<

である.

(2)  b>0 とする.

  0 xb における 2 次関数 の最小値が - 14 であるとき, b= である.一方, xb における 2 次関数 の最大値が 3 であるとき, b= である.

  b= b= のときの のグラフをそれぞれ G 1 G 2 とする. G1 x 軸方向に y 軸方向に だけ平行移動すれば, G2 と一致する.

2011 大学入試センター試験 本試

数学I

配点25点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】 点 O を中心とする円 O の円周上に 4 A B C D がこの順にあり,

AB=2 CD=2 3 BD=2 3 AC=4

であるとする.

(1)  BAC=θ BC =x とおくと, ABC に着目して

x2= アイ -16 cosθ

となる.また, BCD に着目して

x2= 24- ウエ cosθ

となる.よって, cosθ = x= であり,円 O の半径は である.また, ABC の面積は である.

(2) 点 O を中心とする半径 の球を考える.点 P を,この球面上の点で三角 すい PABC の体積が最大となるような点とする.

 このとき,三角錐 PABC の体積は であり, PA= である.

 さらに,点 P を中心とし,三角錐 PABC を含む最小の球の表面積は チツ π である.

2011 大学入試センター試験 本試

数学I

配点25点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】  a b は正の実数で, ab は整数でないとする. ab をこえない最大の整数を m ba-b m をこえない最大の整数を n とする.すなわち, m n

m< ab< m+1 n b a-b m< n+1

を満たす整数である.

(1)  a=17 b=3 のとき, m= n= である.

(2)  a=20 b= 2 のとき, m= ウエ n= である.

(3)  9 4< ab 73 であるとき, m= であるから, a b-m のとり得る値の範囲は

< ab -m

となる.よって, b a-b m のとり得る値の範囲は

ba-b m <

となり, n= と定まる.

(4)  m=n= 2 となるときの ab のとり得る値の範囲は

< ab

である.

2011 大学入試センター試験 本試

数学IA

配点10点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

〔2〕 実数 a b に関する条件 p q を次のように定める.

p:( a+b) 2+ (a-2 b) 2<5

q:| a+b| <1 または |a- 2b |<2

(1) 次の 0 3 のうち,命題「 q p 」に対する反例になっているのは である.

(2) 命題「 P q 」の待遇は「 」である.

に当てはまるものを,次の 0 7 のうちから一つずつ選べ.

(3)  p q であるための

  に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

0  必要十分条件である

1  必要条件であるが,十分条件ではない

2  十分条件であるが,必要条件ではない

3  必要条件でも十分条件でもない

2011 大学入試センター試験 本試

数学IA

配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】 点 O を中心とする円 O の円周上に 4 A B C D がこの順にある.四角形 ABCD の辺の長さは,それぞれ

AB=7 BC =2 7 CD= 3 DA= 23

であるとする.

(1)  ABC= θ AC=x とおくと, ABC に着目して

x2= アイ -28 cosθ

となる.また, ACD に着目して

x2= 15+ ウエ cosθ

となる.よって, cosθ= x= キク であり,円 O の半径は である.

 また,四角形 ABCD の面積は である.

(2) 点 A における円 O の接線と点 D における円 O の接線の交点を E とすると, OAE= シス ° である.また,線分 OE と辺 AD の交点を F とすると, AFE= セソ ° であり,

OFOE =

である.

 さらに,辺 AD の延長と線分 OC の延長の交点を G とする.点 E から直線 OG に垂線を下ろし,直線 OG との交点を H とする.

  4 E G は同一円周上にある. に当てはまるものを次の 0 4 から一つ選べ.

したがって

OHOG =

である.

2011 大学入試センター試験 本試

数学IA

配点25点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】  1 個のさいころを投げるとき, 4 以下の目が出る確率 p であり, 5 以上の目が出る確率 q である.

 以下では, 1 個のさいころを 8 回繰り返して投げる.

(1)  8 回の中で 4 以下の目がちょうど 3 回出る確率は オカ p3 q5 である.

 第 1 回目に 4 以下の目が出て,さらに次の 7 回の中で 4 以下の目がちょうど 2 回でる確率は キク p3 q5 である.

 第 1 回目に 5 以上の目が出て,さらに次の 7 回の中で 4 以下の目がちょうど 3 回出る確率は ケコ p3 q5 である.

(2) 次の 0 7 のうち オカ に等しいものは である.ただし, は解答の順序を問わない.

(3) 得点を次のように定める.

  8 回の中で 4 以下の目がちょうど 3 回出た場合,

n=1 2 3 4 5 6 について,第 n 回目に初めて 4 以下の目が出たとき,得点は n 点とする.

また, 4 以下の目が出た回数がちょうど 3 回とならないときは,得点を 0 点とする.

 このとき,得点が 6 点となる確率は p q であり,得点が 3 点となる確率は ソタ p q である.また,得点の期待値は チツテ トナニ である.

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