2011　小樽商科大学　前期MathJax

【１】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(1)　${\left({\displaystyle \frac{81}{80}}\right)}^{2011}$の整数部分の桁数は$\boxed{\text{(a)}}$桁である．ただし，${\log }_{10}2=0.30103\text{，}{\log }_{10}3=0.47712$とする．

【１】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(2)　$y=\left|x\right|+|x-1|$と$y=x+2$で囲まれた図形の面積は$\boxed{\text{(b)}}$．

【１】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(3)　$16{\displaystyle \sum _{k=1}^n}k=5200$のとき，$n=\boxed{\text{(c)}}$．

【２】　$3$辺の長さがそれぞれ$2\text{，}3\text{，}4$であるような三角形がある．この三角形の面積を$S\text{，}$この三角形に内接する円の半径を$r$とする．

(1)　$S$を求めよ．

(2)　$r$を求めよ．

【３】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(1)　$m>0$とする．放物線$y=x^2$と放物線$y=x(m-x)$とで囲まれた図形の面積$S$を$m$で表せば，$S=\boxed{\text{(ア)}}$．

【３】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(2)　$\cos 2\theta -\cos \theta +1$の最大値を$M\text{，}$最小値を$m$とすれば，$(M,m)=\boxed{\text{(イ)}}$．

【３】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(3)　$10$段の階段を$1$段ずつ，$1$段飛ばし，$2$段飛ばしの$3$種類の登り方を自由に使って登ることができるものとする．このとき，$10$段を登る方法は全部で$\boxed{\text{(ウ)}}$通りある．

【４】　座標平面上に点$\mathrm{A}(12,{\displaystyle \frac{15}{2}})$と放物線$C\text{：}y=x^2$がある．放物線$C$上に点$\mathrm{P}$があり，点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線は，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}$を通る直線に垂直である．このとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【５】　$a>5$とする．円$C\text{：}{x}^2+{(y-a)}^2=25$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は，円$C$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積の$5$倍に一致している．このとき，$a$の値を求めよ．