2011　北見工業大学　後期MathJax

【１】　(1)〜(4)については空白(ⅰ)〜(ⅳ)をうめ，(5)については図をかけ．なお，(4)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(1)　$A=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right)$とするとき，${(A^2)}^{-1}=\boxed{\text{(ⅰ)}}$である．

【１】　(1)〜(4)については空白(ⅰ)〜(ⅳ)をうめ，(5)については図をかけ．なお，(4)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n^2+3n}-n}}=\boxed{\text{(ⅱ)}}$

【１】　(1)〜(4)については空白(ⅰ)〜(ⅳ)をうめ，(5)については図をかけ．なお，(4)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}}{(\sin x)}^{2011}\cos xdx=\boxed{\text{(ⅲ)}}$

補足説明：$\pi /2$とは${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のことである．

【１】　(1)〜(4)については空白(ⅰ)〜(ⅳ)をうめ，(5)については図をかけ．なお，(4)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(4)　実数$x\text{，}y$に対して，「$x=1$でないかまたは$y=1$」は$(x-1)(y-1)=0$であるための$\boxed{\text{(ⅳ)}}$．

(a)　必要十分条件である

(b)　十分条件だが必要条件ではない

(c)　必要条件だが十分条件ではない

(d)　必要条件でも十分条件でもない

【１】　(1)〜(4)については空白(ⅰ)〜(ⅳ)をうめ，(5)については図をかけ．なお，(4)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(5)　不等式$\left|x\right|+|2y|\leqq 2$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．

【２】(1)　$0\leqq x\leqq 2\pi$において，関数$y=x+2\sin x$の増減と凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}x\sin xdx$を求めよ．

(3)　$0\leqq x\leqq 2\pi$において，(1)のグラフと直線$y=x$で囲まれた図形を$D$とする．$D$を$x$軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ．

【３】　空間内に$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$があって，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は直交しており，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角は${\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角は${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$である．また$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=1$である．このとき次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(4)　点$\mathrm{D}$を$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を含む平面上の点とする．このとき，実数$s\text{，}t$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+(1-s-t)\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

と書ける．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$がこの平面と直交しているとき，$s$と$t$の値を求めよ．

(5)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

【４】　$e$を与えられた正の定数とし，点$\mathrm{A}$の座標を$(1,0)$とする．点$\mathrm{P}$の座標を$(x,y)$とするとき以下の問いに答えよ．

(1)　$y$軸から点$\mathrm{P}$までの距離と点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{P}$までの距離の比が$1:e$であるために$x\text{，}y$が満たすべき条件を求めよ．

(2)　$e=1$のとき，(1)の条件を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡は放物線$x=k{y}^2+ly+m$となる．$k\text{，}l\text{，}m$の値を求めよ．

(3)　$0<e<1$のとき，(1)の条件を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡は，楕円

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$

を平行移動させたものである．そのような$a\text{，}b$（どちらも正とする）を$e$の式で表し，$x$方向，$y$方向にそれぞれどれだけ平行移動すれば点$\mathrm{P}$の軌跡になるかを答えよ．

(4)　$e>1$のとき，(1)の条件を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡は，双曲線

${\displaystyle \frac{x^2}{c^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{d^2}}=1$

を平行移動させたものである．そのような$c\text{，}d$（どちらも正とする）を$e$の式で表し，$x$方向，$y$方向にそれぞれどれだけ平行移動すれば点$\mathrm{P}$の軌跡になるかを答えよ．

(5)　(1)の条件を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡の概形を，$e={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}1\text{，}2$の$3$つの場合について同一平面上に図示せよ．

【５】　以下の文を読み，その中にある問１，問２，問３に答えよ．

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　$0$以上の整数を非負整数と呼ぶ．つまり非負整数とは，$0$かまたは$1$以上の自然数のことである．

　ここでは，偶数と書いたら，それは$2$で割り切れる非負整数，すなわち，$0\text{，}2\text{，}4\text{，}6\text{，}\cdots$などを指すこととする．奇数と書いたら，それは$2$で割ると$1$余る非負整数，すなわち，$1\text{，}3\text{，}5\text{，}7\text{，}\cdots$などを指すこととする．

　また，非負整数$n$が非負整数$k$の倍数であるとは，ある非負整数$m$があって$n=mk$となることである．

　さて，$n$が偶数であるとすると，ある非負整数$m$があって，$n=2m$となっている．$n^4={(2m)}^4=2^4{m}^4=16m^4$なので，次の命題が成り立つことがわかる．

　$n$が奇数ならば，ある非負整数$m$があって$n=2m+1$となっている．

$n^4={(2m+1)}^4=16m^4+32m^3+24m^2+8m+1$$=\{16m^4+32m^3)+(24m^2+8m)\}+1$

であるが，ここで$16m^4+32m^3=16m^3(m+2)$は$16$の倍数である．

　また，$m$が偶数の場合と奇数の場合とに分けて考えることにより，どんな非負整数$m$に対しても$24m^2+8m$はやはり$16$の倍数であることがわかる．従って，$n$が奇数ならば$n^4$を$16$で割った余りは$1$である．

　命題Aと合わせて，次の命題が成り立つことがわかる．

　この命題は，次のように言いかえることもできる．

　ここまで準備することにより，次の定理を証明することができる．

証明：命題Cより，$14$個の非負整数$n_1\text{，}{n}_2\text{，}{n}_3\text{，}\cdots \text{，}{n}_{14}$をどのように選んでも，

${\displaystyle \sum _{k=1}^{14}}{n_k}^4={n_1}^4+{n_2}^4+{n_3}^4+\cdots +{n_{14}}^4$

を$16$で割った余りは$0$から$14$までのどれかであり，決して$15$にはならないことがわかる．

[証明終り]