2011　お茶の水女子大学　前期共通MathJax

【１】　$xy$平面上に$2$つの放物線$C_1\text{，}{C}_2$を考える．

$C_1:y=-x^2+4x$

$C_2:y=x^2-2x$

(1)　$C_1\text{，}{C}_2$の原点とは異なる交点$\mathrm{A}$の座標と$C_2$の頂点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}(x_1,y_1)$から$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線$l$におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$の座標を$x_1\text{，}{y}_1$を用いて表せ．ただし点$\mathrm{P}$は直線$l$上にないものとする．

(3)　点$\mathrm{P}(x_1,y_1)$が$C_1$上にあるとき，三角形$\mathrm{ABP}$の面積$x_1$の式で表せ．

(4)　点$\mathrm{P}$が$C_1$上を原点から$\mathrm{A}$まで動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$を，$2$でも$3$でも$5$でも割り切れない自然数を小さい順に並べて出来た数列とする．すなわち，$a_1=1\text{，}{a}_2=7\text{，}\cdots$である．このとき，

(1)　第$10$項$a_{10}$を求めよ．

(2)　第$500$項$a_{500}$を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の初項から第$8k$項までの和を求めよ．ただし，$k$は自然数とする．

【３】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を定数とする．また$w$は$x\text{，}y\text{，}z$から$w=ax+by+cz+d$によって定まるものとする，以下の命題を考える．

命題１：$x\geqq 0$かつ$y\geqq 0$かつ$z\geqq 0⟹w\geqq 0$

命題２：「$x\geqq 0$かつ$z\geqq 0$」または「$y\geqq 0$かつ$z\geqq 0$」$⟹w\geqq 0$

命題３：$z\geqq 0⟹w\geqq 0$

　以下の問いに答えよ．

(1)　$b=0$かつ$c=0$のとき，命題１が真であれば，$a\geqq 0$かつ$d\geqq 0$であることを示せ．

(2)　命題１が真であれば，$a\text{，}b\text{，}c$はすべて$0$以上であることを示せ．

(3)　命題２が真であれば，命題３も真であることを示せ．

【３】　$x$の多項式$f(x)$は

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}xf(x)dx=0\text{，}f(1)=f(-1)=0$

を満たしているとする．

(1)　このとき${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{x}^2{f}^{\prime }(x)dx=0$を示せ．

(2)　さらに多項式$f(x)$は$3$次以下で${\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(x)e^{x}dx=1$を満たしているとする．このような$f(x)$を求めよ．