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2011-10271-0101
2011 電気通信大学 昼間・前期
配点50点
易□ 並□ 難□
【1】 xy 平面上の曲線 C: y=log⁡ x に対して,以下の問いに答えよ.ただし, log⁡x は e を底とする自然対数とする.
(ⅰ) 曲線 C 上の点 P (t ,log⁡t ) における C の接線 l の方程式を求めよ.
(ⅱ) 接線 l と x 軸の交点 Q の x 座標を x 0 とする. x0 を t を用いて表せ.
(ⅲ) t>1 のとき,曲線 C と x 軸および直線 x= t とで囲まれる部分の面積を S ⁡(t ) とする. S⁡( t) を t を用いて表せ.
(ⅳ) t>1 のとき,曲線 C と x 軸および接線 l とで囲まれる部分の面積を T ⁡(t ) とする. T⁡( t) を t を用いて表せ.
(ⅴ) 1<t≦ e3 の範囲において, f⁡( t)= T⁡( t)- S⁡( t) とおく.このとき,関数 f⁡( t) の増減を調べ, f⁡( t) の最大値および最小値を求めよ.ただし, 2<e <3 であることは既知としてよい.
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【2】 x>0 において関数
f⁡( x)= sin⁡( log⁡x )
を考える.
方程式 f⁡ (x) =0 の 0 <x≦1 における解を大きいほうから順にならべて,
1=α 1>α 2>α 3>⋯ >αn >a n+1 >⋯
とする.以下の問いに答えよ.ただし, log⁡x は e を底とする自然対数とする.なお,不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい.
(ⅰ) 不定積分 I⁡ (x) ,J⁡ (x ) をそれぞれ
I⁡( x)= ∫ ⁡ex ⁢sin⁡x ⁢dx ,J⁡ (x) =∫ ⁡ex ⁢cos⁡x ⁢dx
とおくとき, I⁡( x)+ J⁡( x) ,I⁡( x)- J⁡( x) を求めよ.
(ⅱ) 不定積分 ∫⁡f ⁡(x )⁢d x を求めよ.
(ⅲ) αn ( n= 1 ,2 ,3 ,⋯) を求めよ.
(ⅳ) 区間 α n+1 ≦x≦ αn において,曲線 y= f⁡( x) と x 軸とで囲まれる部分の面積を S n ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) とする. Sn を求めよ.
(ⅴ) 無限級数 ∑n =1∞ ⁡Sn の和 S を求めよ.
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【3】 初項が a で公比が r の等比数列を { an} とし,初項が b で公比が s の等比数列を { bn } とする.数列 { xn } を
xn= an+ bn ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
で定義するとき,以下の問いに答えよ.
(ⅰ) x1⁢ x3+ x2 2 と x 2⁢x 4- x32 をそれぞれ a ,b ,r ,s の式で表し,因数分解せよ.
(ⅱ) x1⁢ x4- x2⁢ x3 を a , b, r ,s の式で表し,因数分解せよ.
以下では, r<s とし,数列 { xn} のはじめの 4 つの項が
x1= 4, x2= 7, x3=11 , x4= 13
となる場合を考える.
(ⅲ) a ,b ,r ,s の値を求め,数列 { xn} の一般項を求めよ.
(ⅴ) 数列 { xn} の初項から第 n 項までの和 S n を求めよ.
(ⅴ) 極限値 lim n→∞ ⁡ x nSn を求めよ.
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【4】 直線 l: y=2⁢ x の法線ベクトルを n →= (a, b) とし,点 P (x ,y) と直線 l との距離を h とする.ただし, | n→ |= 1 で, a>0 とする.以下の問いに答えよ.
(ⅰ) n→ の成分 a , b を求めよ.
(ⅱ) 原点を O とし, 0→ でない OP → に対し, OP→ と n → のなす角を θ とする.このとき, h を | OP→ | と θ を用いて表せ.また, h を x , y を用いて表せ.
以下では,曲線 C を,点 A (1 ,0) と直線 l からの距離が等しい点 P (x ,y) の軌跡とする.
(ⅲ) 曲線 C の方程式( x , y の関係式)を求めよ.
(ⅳ) 曲線 C と直線 y= t ( t は定数)との共有点の個数を求めよ.
(ⅴ) 曲線 C と直線 y= t が 2 個の共有点 Q , R をもつとき,線分 QR の長さを t を用いて表せ.
(ⅵ) 曲線 C と直線 y= 0 とで囲まれる部分の面積 S を求めよ.