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【3】 面の出る確率が裏の出る確率がのコイン枚と,つの箱が用意されている.最初,箱には枚のコインのうちの枚が入っており,次の操作を繰り返し行う.
(操作) 箱の中のコインをすべて取り出し同時に投げる.裏の出たコインはそのまま箱に戻す.表の出たコインは,その枚数を数え,同数のコインを新たに追加して箱に戻す.
例えば,箱の中に枚のコインがあり,それらを投げた結果,表が枚,裏が枚出たとすると,操作の結果,箱の中のコインは,枚追加されて枚になる.以下の問いに答えよ.
(1) 回目の操作の終了時,箱の中にあるコインが枚である確率をを用いて表せ.
(2) 回目の操作の終了時,箱の中にあるコインの枚数の期待値をを用いて表せ.
(3) 回目の操作の終了時,箱の中にあるコインが枚以下である確率をを用いて表せ.
[Ⅰ] を原点とする座標平面上,直線(は定数)に関する対称移動をで表す.また座標平面上の点に対して,直線をを中心として角だけ回転して得られる直線にから下ろした垂線との交点をとし,をに移す移動をで表す.ただしはにより自身に移動するものとする.をこの順に続けて行って得られる移動(合成変換)を表す行列をとおくとき,およびその逆行列を求めよ.