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2011-10441-0101
2011 岐阜大学 前期
教育(イ),(ロ),地域科,工,医(看護,医),応用生物学部
配点率20%
易□ 並□ 難□
【1】 右の図のように, xy 平面上に, x 軸に平行な道, y 軸に平行な道,直線 y =-x に平行な道があるものとする.これらの道を通って,原点 O から点 A ( 4,4 ) まで行くとき,以下の各場合に道順の総数を求めよ.
(1) 最短経路で行く場合.
(2) 点 B ( 2,2.5 ) を通らずに,最短経路で行く場合.
(3) 点 C (- 1,2 ) を通り,道のりが 8 +2 になる場合.
(4) 道のりが 8 +2 になる場合.
(5) 0≦x≦ 4 ,0≦ y≦4 の部分だけを通り,道のりが 8 +2 になる場合.
2011-10441-0102
【2】 連立不等式 y ≧|3 ⁢x-2 |, x-4 ⁢y+8 ≧0 の表す領域を D とする.以下の問に答えよ.
(1) 領域 D を図示せよ.
(2) 点 ( x,y ) が領域 D を動くとき, x2 +2⁢x +y2 の最小値と,それを与える点 ( x,y ) を求めよ.
2011-10441-0103
教育(イ),地域科,医(看護),応用生物学部
【3】 平面上に点 O を中心とする半径 1 の円 S と S に内接する正三角形 ABC がある.以下の問に答えよ.
(1) 内積 OA→⋅ OB→ の値を求めよ.
(2) OC→ を OA → と OB → を用いて表せ.
(3) 平面上の任意の点 P に対して,以下の不等式が成り立つことを示せ.
AP2 +BP2 +CP2 ≧3
また,等号が成り立つのはどのようなときか答えよ.
(4) 円 S の周上の任意の点 Q に対して,
( OA→ ⋅OQ→ ) 2+ (OB →⋅ OQ→ )2 +( OC→ ⋅OQ→ )2 = 32
となることを示せ.
(5) 円 S の周上の任意の点 Q に対して,
AQ4 +BQ4 +CQ4
の値を求めよ.
2011-10441-0104
【4】 空間内の四面体 OABC について, ∠OAC=∠OAB =90⁢ ° , ∠BOC=α , ∠COA=β , ∠AOB=γ , OA=1 とする.ただし, α ,β , γ はすべて鋭角で, cos⁡α = 14 ,cos⁡ β= 13 , cos⁡γ =1 3 である.三角形 ABC の外接円を S とし,その中心を P とする.以下の問に答えよ.
(1) 辺 BC の長さを求めよ.
(2) θ=∠BAC とするとき, cos⁡θ の値を求めよ.
(3) 線分 OP の長さを求めよ.
(4) 円 S の周上に点 D をとり,線分 AD と線分 DB の長さをそれぞれ AD =x ,DB= y とする. x+y の最大値とそれを与える x , y を求めよ.
2011-10441-0105
【5】 放物線 y =x2 +4⁢x を C とする. C 上の x 座標が p である点における接線を l とする.ただし, p は正の定数とする.以下の問に答えよ.
(1) 接線 l の方程式を求めよ.
(2) 接線 l と y 軸との交点を通る C の接線を m とする.ただし, m と l は異なるとする. m の方程式を求めよ.
(3) 放物線 C と接線 l および y 軸とで囲まれた部分の面積を S とし,放物線 C と接線 m および y 軸とで囲まれた部分の面積を T とする. TS の値は p によらず一定となることを示せ.
2011-10441-0106
教育(ロ),工,医(医)学部
【4】 k ,n は自然数で n ≧3 とする.平面上の点 O を中心とする半径 1 の円を S 1 とする.右の図のように,半径 r 1 の n 個の円は隣り合う他の 2 つの円と外接し,かつ S 1 に内接している.さらに,点 O を中心とする円 S 2 は,半径 r 1 のすべての円に外接している.同様に, k≧2 に対して,半径 rk の n 個の円は隣り合う他の 2 つの円と外接し,かつ円 S k に内接している.さらに,点 O を中心とする円 S k+1 は,半径 r k のすべての円に外接している. S2 の半径を s 2 とする.以下の問に答えよ.
(1) r1 と s 2 を n を用いて表せ.
(2) 半径 r k の 1 つの円の面積を Tk⁡ (n ) とする. Tk⁡ (n ) を k と n を用いて表せ.
(3) U⁡( n)= n⁢ ∑k =1∞ Tk ⁡( n) とする. U⁡( n) を求めよ.
(4) limn →∞ U⁡( n) を求めよ.
2011-10441-0107
【5】 a ,b , c ,d を実数の定数とする.座標平面上の点 ( 2,1 ) を点 ( 5,2 ) に移す 1 次変換を表す行列を
A=( a bc d )
とする.以下の問に答えよ.
(1) A が逆行列をもつための必要十分条件を a と c を用いて表せ.
(2) 次の式を満たす A を求めよ.
A2 =( 25 40 52 0)
(3) n を自然数とする.(2)で求めた A について,
- 25⁢ A+ (- 25 )2 ⁢A2 +(- 25 ) 3⁢A 3+⋯ +(- 25 ) n⁢A n
を求めよ.