2011　岐阜大学　後期MathJax

【１】　$4$個の赤球と$4$個の白球があり，$4$つの箱に$2$個ずつ入っている．箱の中に球が入っている状態は次のいずれかである．

状態A　「赤球と白球が$1$個ずつ入っている箱が$4$つある」

状態B　「赤球が$2$個入っている箱が$1$つ，白球が$2$個入っている箱が$1$つ，赤球と白球が$1$個ずつ入っている箱が$2$つある」

状態C　「赤球が$2$個入っている箱が$2$つ，白球が$2$個入っている箱が$2$つある」

次の操作(★)を行う．

(★)$4$つの箱から$2$つの箱を選び，選んだ$2$つの各箱から$1$個ずつ球を取り出して入れかえる．

以下の問に答えよ．

(1)　状態Aにあるとき，操作(★)を$1$回行って状態Bまたは状態Cになる確率を求めよ．

(2)　状態Bにあるとき，操作(★)を$1$回行って状態Aになる確率，状態Bになる確率，状態Cになる確率をそれぞれ求めよ．

(3)　状態Aから操作(★)を$2$回行って，状態Aになる確率，状態Bから操作(★)を$2$回行って，状態Aになる確率，状態Cから操作(★)を$2$回行って，状態Aになる確率をそれぞれ求めよ．

【２】　$1$辺の長さ$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)　$\theta =\mathrm{\angle AMN}$とする．$\cos \theta$の値を求めよ．

(2)　$0<s<1$とする．線分$\mathrm{MN}$を$s:1-s$に内分する点を$\mathrm{P}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}s$を用いて表せ．

(3)　三角形$\mathrm{ABM}$の外心を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(4)　$2$直線$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OB}$に平行で点$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{M}$を通り，平面$\alpha$上に中心をもつ球面を$S$とする．$S$の中心を$\mathrm{R}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

【３】　$x$を，$0\leqq x<2\pi$とし，$n$を自然数とする．以下の問に答えよ．

(1)　未知数$x$の方程式$1+{\log }_2|\sin x|+{\log }_2|\cos x|=0$を解け．

(2)　未知数$x$の方程式$n+{\log }_2|\sin x|+{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{\log }_2|\cos (2^{k}x)|=0$を解け．

(3)　(2)の方程式のすべての解の和を求めよ．

【４】　$k\text{，}m$を実数とする．$xy$平面において原点を$\mathrm{O}$とし，直線$y=k$を$l$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$k\ne 0$のとき，原点$\mathrm{O}$を焦点，直線$l$を準線とする放物線を$P$とする．$P$の方程式を求めよ．

(2)　$km<0$とする．原点$\mathrm{O}$を焦点，直線$y=m$を準線とする放物線を$Q$とする．$Q$と(1)の放物線$P$の共有点$(x_0,y_0)$における$P$と$Q$の接線の傾きを$k\text{，}m$でそれぞれ表せ．ただし，$x_0>0$とする．さらに，この$2$本の接線は$(x_0,y_0)$で直交することを示せ．

(3)　$k$が$k>-{\displaystyle \frac{1}{2}}$の範囲を動くとする．原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2k+1$の円と直線$l$の共有点の軌跡$H$は，ある双曲線の上にある．この双曲線の焦点の座標と漸近線の方程式を求めよ．

(4)　$-{\displaystyle \frac{1}{2}}<k<0$とする．(3)の$H$と直線$l$の共有点の$1$つを$\mathrm{A}$とする．(1)の放物線$P$に対して，点$\mathrm{A}$と$x$座標が等しい$P$上の点を$\mathrm{B}$とする．三角形$\mathrm{OAB}$が正三角形となるときの$k$の値を求めよ．

【５】　関数$f_1(x)$を$0\leqq x<1$のとき$f_1(x)=x\text{，}1\leqq x\leqq 2$のとき$f_1(x)=-x+2\text{，}x<0$または$x>2$のとき$f_1(x)=0$とする．$2$以上の自然数$n$に対して，関数$f_n(x)$を

$f_n(x)=f_{n-1}(x)+{\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}{f}_1(x-2(n-1))$

を満たすように定める．以下の問に答えよ．

(1)　$y=f_2(x)$のグラフの概形をかけ．

(2)　$6\leqq x\leqq 8$のときの$f_5(x)$を求めよ．

(3)　曲線$y=f_5(x)\text{（}0\leqq x\leqq 10\text{）}$と$x$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．