2011　浜松医科大学　前期医学部MathJax

【１】　$2$次曲線$C$が媒介変数$\theta$を用いて，

$x=3+5\cos \theta \text{，}y=2+3\sin \theta \text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$

と表されている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$の方程式を$x\text{，}y$を用いて表せ．また，$C$を座標平面上に図示せよ．

(2)　曲線$C$上の点$\mathrm{P}(3+5\cos \theta ,2+3\sin \theta )$における$C$の接線$l$の方程式は，

${\displaystyle \frac{\cos \theta }{5}}(x-3)+{\displaystyle \frac{\sin \theta }{3}}(y-2)=1$

となることを示せ．

(3)　曲線$C$の焦点を${\mathrm{F}}_1\text{，}{\mathrm{F}}_2$とする．$i=1\text{，}2$に対し，${\mathrm{F}}_i$を通り，接線$l$に垂直な直線$m_i$の方程式を求めよ．

(4)　$i=1\text{，}2$に対し，直線$m_i$と$l$との交点を${\mathrm{Q}}_i$とする．点${\mathrm{O}}^{\prime }(3,2)$とするとき，線分${\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{Q}}_i$の長さを求めよ．

(5)　$\mathrm{P}$が曲線$C$を一周するとき，線分${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2$の長さの最大値，最小値，およびそのときの点$\mathrm{P}$をそれぞれ求めよ．

【２】　医学部における研究では，いろいろな動物が用いられる．これらの動物を生育して，研究者たちに販売する者の立場から，動物$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を題材にして，以下の問題を考察する．

(1)　動物$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を生育するには，$3$種類の栄養素$\mathrm{p}\text{，}\mathrm{q}\text{，}\mathrm{r}$が必要である．生育量（単位$\mathrm{kg}$）と栄養素の量は，ともに実数で示される．

(条件a)　$\mathrm{A}$を$x\mathrm{kg}$生育するには，$\mathrm{p}$が$5x\text{，}\mathrm{q}$が$5x\text{，}\mathrm{r}$が$x$の量，同時に必要である．$\mathrm{A}$の販売価格は$10\text{万円}/\mathrm{kg}$である．

(条件b)　$\mathrm{B}$を$y\mathrm{kg}$生育するには，$\mathrm{p}$が$4y\text{，}\mathrm{q}$が$y\text{，}\mathrm{r}$が$2y$の量，同時に必要である．$\mathrm{B}$の販売価格は$5\text{万円}/\mathrm{kg}$である．

　手持ちの栄養素は今，$\mathrm{p}$が$5\text{，}\mathrm{q}$が$4\text{，}\mathrm{r}$が$2$の量であると仮定する．このとき，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$をそれぞれ何$\mathrm{kg}$生育すれば，販売額が最大となるか，販売額の最大値，およびそのときの$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の生育量をそれぞれ求めよ．

(2)　動物$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$に加えて，動物$\mathrm{C}$も$\mathrm{p}\text{，}\mathrm{q}\text{，}\mathrm{r}$の栄養素によって生育できることがわかる．

(条件c)　$\mathrm{C}$を$z\mathrm{kg}$生育するには，$\mathrm{p}$が$2z\text{，}\mathrm{q}$が$3z\text{，}\mathrm{r}$が$z$の量，同時に必要である．$\mathrm{C}$の販売価格は$8\text{万円}/\mathrm{kg}$である．

　手持ちの栄養素は今，$\mathrm{p}$が$5\text{，}\mathrm{q}$が$4$の量であるが，(1)の場合と違って$r$はいくらでも手に入るものと仮定する．次の問いイ，ロ，ハに答えよ．

イ　$\mathrm{C}$の生育量$z\mathrm{kg}$は，$z=k(0\leqq k\leqq {\displaystyle \frac{11}{10}})$として値を固定し，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の生育量をそれぞれ$x\mathrm{kg}\text{，}y\mathrm{kg}$として変化させる．このとき，点$(x,y)$の動く領域$D(k)$を図示せよ．さらに，$(x,y)$がこの領域を動くとき，販売額の最大値を$w(k)$とかく．$w(k)$を$k$の式で表せ．

ロ　$\mathrm{C}$の生育量$z=k$を，$0\leqq k\leqq {\displaystyle \frac{11}{10}}$の範囲から${\displaystyle \frac{11}{10}}\leqq k\leqq {\displaystyle \frac{4}{3}}$の範囲に変更する．このとき，点$(x,y)$の動く領域$D(k)$および販売額の最大値$w(k)$はどうなるか，調べよ．

ハ　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$をそれぞれ何$\mathrm{kg}$生育すれば，販売額が最大となるか．販売額の最大値，およびそのときの$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の生育量をそれぞれ求めよ．

【３】　実数$k$は${\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq k\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲にあるとする．

$\begin{array}{ll}f(x)={\displaystyle {\int }_{-k}^k}\sin (x-t)\cos tdt& \text{（}-k\leqq x\leqq k\text{）}\\ g(x)={\displaystyle {\int }_{-k}^k}|\sin (x-t)|\cos tdt& \text{（}-k\leqq x\leqq k\text{）}\end{array}$

と定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$f\left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$と$g(-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})\text{，}2$つの定積分の値をそれぞれ求めよ．

(2)　差$f(x)-g(x)$は，区間$-k\leqq x\leqq k$で増加することを示せ．

(3)　曲線$y=g(x)$の変曲点は何個あるか，調べよ．

【４】

(1)　$3$つの数$2^{10}-1\text{，}{3}^{10}-1\text{，}{4}^{10}-1$の積を$y=(2^{10}-1)(3^{10}-1)(4^{10}-1)$として，全体集合$U$と部分集合$A\text{，}B$を次のように定める．

$U=\{x|x\text{は}y\text{の正の約数}\}$

$A=\{x|x\in U\text{かつ}x\text{は}44\text{の倍数}\}$

$B=\{x|x\in U\text{かつ}x\text{は}45\text{の倍数}\}$

　このとき，部分集合$A\cap \bar{B}$に属する要素は，全部で何個あるか．

　以下，数列$a_n=4^n-1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を考える．

(2)　次の命題$\mathrm{P}$を証明せよ．

命題$\mathrm{P}$　$n$が$3$で割り切れることは，$a_n$が$9$で割り切れるための十分条件である．

(3)　命題$\mathrm{P}$において，十分条件を必要十分条件に書きかえて，命題$\mathrm{Q}$を作る．命題$\mathrm{Q}$の真偽を答えよ．

(4)　$9$と$11$のうち，どちらか一方の数で割り切れるけれども，他方の数では割り切れないような$a_n$だけを取り出し，残りはすべて取り去る．こうして得られる$a_n$の部分列を小さい順に並べると，$23$番目の項は元の数列では第$k$項になるという．番号$k$を求めよ．