2011　三重大学　前期MathJax

【１】　ふたつの方程式を考える．

$\begin{array}{ll}{x}^2+y^2=z^2& \cdots \text{①}\\ s^2+t^2=u^2+1& \cdots \text{②}\end{array}$

(1)　実数$a\text{，}b$に対し実数$a^{*}\text{，}{b}^{*}$を$a^{*}=a+b\text{，}{b}^{*}=2a+b+1$で定める．$(x,y,z)=(a,a+1,b)$が$\text{①}$の解ならば$(s,t,u)=(a^{*},a^{*}+1,b^{*})$は$\text{②}$の解であることを示せ．また，逆に$(s,t,u)=(a,a+1,b)$が$\text{②}$の解ならば$(x,y,z)=(a^{*},a^{*}+1,b^{*})$は$\text{①}$の解であることを示せ．

(2)　方程式$\text{①}$の自然数解$(x,y,z)$をビタゴラス数という．$y=x+1$を満たすピタゴラス数を$3$組あげよ．

【２】　座標平面において直線$l\text{：}y=ax+b$と直線$m\text{：}y=2x$を考える．

(1)　$2$点$(0,0)\text{，}(2,0)$から直線$l$までの距離が一致するための$a\text{，}b$についての必要十分条件を求めよ．

(2)　(1)の条件のもとで$2$直線$l\text{，}m$のなす角が${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$であるとき$a\text{，}b$の値を求めよ．ただし$2$直線のなす角$\theta$は常に$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で考えるものとする．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$において$\mathrm{OA}=\mathrm{OC}=\sqrt{2}\text{，}\mathrm{OB}=\sqrt{5}\text{，}\mathrm{AB}=3$であり，$\mathrm{\angle AOC}=\mathrm{\angle BOC}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$であるとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として以下の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{CD}$に引いた垂線と直線$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．また$\left|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right|$を求めよ．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^1}|t-|x\left|\right|dt$について以下の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフを描け．

(2)　定数$k$に対し$f(x)=kx$を満たす$x$の個数を調べよ．

(3)　$y=f(x)$のグラフと直線$y=-x+{\displaystyle \frac{7}{2}}$と$y$軸の$3$つで囲まれた図形の面積を求めよ．

【４‐１】　ふたつの曲線

$C_1\text{：}y=\cos x\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{），}{C}_2\text{：}y=\sin x\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$

が囲む領域を$D$とする．ただし$D$は境界を含むものとする．

(1)　$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求め，$D$の面積を求めよ．

(2)　点$(x,y)$が$D$内を動くとき，${\displaystyle \frac{1}{2}}x+y$の最大値と最小値を求めよ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x}{1+x^2}}$のグラフを曲線$C$とし，曲線$C$を$x$軸方向に${\displaystyle \frac{3}{2}}$だけ平行移動した曲線を$C^{\prime }$とする．

(1)　$f(x)$の増減と極限$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)\text{，}\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$を調べて曲線$C$の概形を描け．

(2)　曲線$C$と曲線$C^{\prime }$の共有点の$x$座標を求めよ．

(3)　$2$曲線$C\text{，}{C}^{\prime }$で囲まれた領域の面積を求めよ．

【４】　$t$を実数として$2$次正方行列$A_t=\left(\begin{array}{cc}1& -t\\ t& 1\end{array}\right)$を考える．

(1)　すべての実数$t$に対し$A_t$が逆行列を持つことを示し，その逆行列${A_t}^{-1}$を求めよ．

(2)　各実数$t$に対し座標平面上の点$(x_t,y_t)$を条件$\left(\begin{array}{c}{x}_t\\ y_t\end{array}\right)={A_t}^{-1}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$によって定める．$t$がすべての実数を動くとき$(x_t,y_t)$が描く図形を求めて図示せよ．

【２】　$c$を定数として数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める．

$a_1=c+1\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{n}{n+1}}{a}_n+1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$を求めよ．また一般項$a_n$の形を推定して，その推定が正しいことを証明せよ．

(2)　$c=324$のとき，$a_n$の値が自然数となるような$n$をすべて求めよ．

【４】　関数$f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2x}}+\tan x\text{，}g(x)=x\cos (x^2)$について以下の問いに答えよ．

(1)　$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲にある$\alpha$で$f(\alpha )=0$となるものがただひとつ存在することを示せ．

(2)　閉区間$[0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$における$g(x)$の増減表を書け．必要ならば(1)の$\alpha$を用いてよい．

(3)　$0<\beta <\sqrt{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}$の範囲にあり$g^{\prime }(\beta )=0$を満たす$\beta$を(1)の$\alpha$を用いて表せ．また$g(x)=x\cos (x^2)\text{（}0\leqq x\leqq \beta \text{）}$の逆関数を$h(x)$とする．このとき$y=g(x)$のグラフと$y=h(x)$のグラフの関係に注意して，定積分${\displaystyle {\int }_0^{g(\beta )}}h(x)dx$を$\alpha$を用いて表せ．