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2011-10535-0101
2011 滋賀医科大学 前期
医(医学科)学部
配点50点
易□ 並□ 難□
【1】 座標平面上に 3 点 O ( 0,0 ), A (0 ,1) ,B (x, 12 ⁢ )( x> 0) を考える.ベクトル
t⁢OA →+ (1- t)⁢ OB→
の長さを最小にする実数 t の値を t 0 とし,点 H を OH→= t0⁢ OA→ +(1 -t0 ) ⁢OB→ で定まる点とする.
(1) t0 を x を用いて表せ.
(2) H が線分 AB を 2 等分するとき, x の値を求めよ.
(3) x を動かすとき, ▵OAH の面積が最大になる x の値を求めよ.
2011-10535-0102
【2】 a を正の実数とし,実数 x についての関数 f⁡( x)= (x 3+a ⁢x) ⁢e- x2 a を考える.ただし任意の自然数 n に対して limt→ ∞t n⁢e -t =0 であることを使ってよい.
(1) y= f⁡( x) のグラフの概形を,極値および変曲点を調べて描け.
(2) g⁡( x)= ∫ 0x f⁡( t)⁢ dt を求めよ.
(3) f⁡( x)= g⁡( x) となる実数 x はいくつあるか.
2011-10535-0103
【3】 文字 x , y ,z の任意の整式 A に対して, x ,y , z をそれぞれ sin ⁡θ ,cos⁡ θ ,tan⁡ θ に置き換えて得られる θ の関数を A~⁡ (θ ) で表す.例えば,
P=x5 +z4 -x⁢ y⁢z ならば P~⁡ (θ )= sin5⁡ θ+tan 4⁡θ -sin⁡θ ⁢cos⁡θ ⁢tan⁡θ , P=x 2+y 2 ,Q=1 ならば P~⁡ (θ )=sin 2⁡θ +cos2 ⁡θ=1 =Q~ ⁡(θ )
である.ただし θ の関数の定義域は 0 ≦θ≦2 ⁢π ,θ = π2 , 3⁢π 2 とする.
(1) P を x , y ,z の整式とする. P~ ⁡(θ )= Q~⁡ (θ ) となる y , z の整式 Q が存在することを示せ.
(2) P を x , y ,z の整式とする. P~ ⁡(0 )= P~⁡ (π ) ならば, P~ ⁡(θ )= Q~⁡ (θ ) となる x , z の整式 Q が存在することを示せ.
(3) P を x , y ,z の整式とする. θ→ π 2 のとき,および θ → 3⁢π 2 のとき, P~ ⁡(θ ) がそれぞれ収束するならば, P~ ⁡(θ )= Q~⁡ (θ ) となる x , y の整式 Q が存在することを示せ.
補足:収束とは,一定の実数に限りなく近くことである.
2011-10535-0104
【4】 円卓の周りに並べられた n 席の座席に m 人の人が座るとき,どの二人も隣合わない確率を P ⁡(n ,m) とする.ただし 2 ≦m≦ n 2 とし,どの空席も同じ確率で選ぶものとする.
(1) P⁡( n,2 ) を n を用いて表せ.
(2) P⁡( n,m ) を n , m を用いて表せ.
(3) limm →∞ P⁡( m2, m) を求めよ.